a) x² - 4x + y² - 6y + 13

= ( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 6y + 9 )

= ( x - 2 )² + ( y - 3 )²

b) x² - 2xy + 2y² + 2y + 1

= ( x² - 2xy + y² ) + ( y² + 2y + 1 )

= ( x - y )² + ( y + 1 )²

c) 4x² - 12x - y² + 2y + 8

= ( 4x² - 12x + 9 ) - ( y² - 2y + 1 )

= ( 2x - 3 )² - ( y - 1 )²

= [ ( 2x - 3 ) - ( y - 1 ) ][ ( 2x - 3 ) + ( y - 1 ) ]

= ( 2x - 3 - y + 1 )( 2x - 3 + y - 1 )

= ( 2x - y - 2 )( 2x + y - 4 )

d) x² + y² + z² - 6x - 4y - 2z + 14

= ( x² - 6x + 9 ) + ( y² - 4y + 4 ) + ( z² - 2z + 1 )

= ( x - 3 )² + ( y - 2 )² + ( z - 1 )²

C = ( x² - 5x + 1 )² + ( 5x - 1 )² + 2( x² - 5x + 1 )( 5x - 1 )

= [ ( x² - 5x + 1 ) + ( 5x - 1 ) ]² ( HĐT số 1 )

= ( x² - 5x + 1 + 5x - 1 )²

= ( x² )² = x⁴

a) Ta có:

\(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=180-90-60=30\)

Vì \(BC\perp Cy\Rightarrow\widehat{BCy}=90\)

Mà \(\widehat{BCy}+\widehat{ECF}+\widehat{BCA}=180\)

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=180-90-30=60\left(1\right)\)

Vì \(\widehat{FBC}+\widehat{BCA}+\widehat{BFC}=180\)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=180-\frac{\widehat{ABC}}{2}-\widehat{BCA}\)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=60\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và\(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\Delta CEF\)là tam giác đều

a) Xét ΔABC∆ABC vuông tại AA

ˆABC=60oABC^=60o

⇒ACB=30o⇒ACB=30o

Ta có: BEBE là phân giác của ˆBB^

⇒ˆCBE=12ˆABC=30o⇒CBE^=12ABC^=30o

⇒ˆFEC=ˆECB+ˆEBC=60o⇒FEC^=ECB^+EBC^=60o

Xét ΔCBF∆CBF vuông tại CC có:

ˆCBF=30oCBF^=30o

⇒ˆCFB=60o⇒CFB^=60o

Xét ΔCEF∆CEF có:

ˆFEC=ˆCFB=60oFEC^=CFB^=60o

Do đó ΔCEG∆CEG đều

b) Sửa đề: ABCDABCD là hình thang cân

Ta có:

ˆBAC=ˆBDC=90oBAC^=BDC^=90o

Do đó ABCDABCD là tứ giác nội tiếp

⇒ˆACB=ˆADB=30o⇒ACB^=ADB^=30o

Ta lại có: ˆDBC=ˆACB=30oDBC^=ACB^=30o

nên ˆABD=ˆDBCABD^=DBC^

⇒ABCD⇒ABCD là hình thang đáy AB,CDAB,CD

Mặt khác: ΔDBC∆DBC vuông tại DD có:

ˆDBC=30oDBC^=30o

⇒ˆDCB=60o=ˆABC⇒DCB^=60o=ABC^

Do đó ABCDABCD là hình thang cân

a) 9x² + y² + 12x - 10y + 40

= ( 9x² + 12x + 4 ) + ( y² - 10y + 25 ) + 11

= ( 3x + 2 )² + ( y - 5 )² + 11 ≥ 11 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x+2=0\\y-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\y=5\end{cases}}\)

Vậy GTNN của biểu thức = 11 <=> x = -2/3 ; y = 5

b) 2x² + 2y² - 4x - 4y - 2xy + 30

= ( x² - 2xy + y² ) + ( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 22

= ( x - y )² + ( x - 2 )² + ( y - 2 )² + 22 ≥ 22 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-2=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy GTNN của biểu thức = 22 <=> x = y = 2

a) Đặt \(A=9x^2+y^2+12x-10y+40\)

\(\Rightarrow A=\left(9x^2+12x+4\right)+\left(y^2-10y+25\right)+11\)

\(=\left(3x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2+11\)

Vì \(\left(3x+2\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(y-5\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(3x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(3x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2+11\ge11\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+2=0\\y-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x=-2\\y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{3}\\y=5\end{cases}}\)

Vậy \(minA=11\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{3}\\y=5\end{cases}}\)

b) Đặt \(B=2x^2+2y^2-4x-4y-2xy+30\)

\(\Rightarrow B=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+22\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+22\)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+22\ge22\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-2=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=2\\y=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy \(minB=22\)\(\Leftrightarrow x=y=2\)

                                      A B C D M N E

a) Ta có : AB // CD ( do ABCD là hình bình hành )

\(\Rightarrow\)AM // NC \(\left(1\right)\)

Lại có : M là trung điểm của AB \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}AB\left(2\right)\)

              N là trung điểm của DC \(\Rightarrow CN=\frac{1}{2}CD\left(3\right)\)

mà AB = CD ( ABCD là hình bình hành ) \(\left(4\right)\)

Từ \(\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow AM=CN\left(5\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(5\right)\Rightarrow\)tứ giác AMCN là hình bình hành

b) Ta có : ABCD là hình bình hành (gt)

\(\Rightarrow\)AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của BD và O là trung điểm của AC (*)

Ta có : AMCN là hình bình hành (cma)

\(\Rightarrow\)AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường 

\(\Rightarrow\)O là trụng điểm của MN (**)

Từ (*) ; (**) \(\Rightarrow\)AC ; BD ; MN đồng quy

c) Ta có : AM = CN (cmt)

mà \(CN=\frac{1}{2}DC\)(cmt)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}DC\)

\(\Rightarrow\)AM là đường trung bình của \(\Delta ECD\) 

2x +\(\frac{2}{3}\)< 2 + x -\(\frac{2}{2}\)

<=> 2x - x < 2 - \(\frac{2}{2}\)-\(\frac{2}{3}\)

<=> x < 2 -\(\frac{6}{6}\)-\(\frac{4}{6}\)

<=> x < 2 -\(\frac{2}{6}\)

<=> x < 2 - \(\frac{1}{3}\)

<=> x <\(\frac{5}{3}\)

#Học tốt!!!

~NTTH~

\(\frac{2x+2}{3}< 2+\frac{x-2}{2}\)

<=> \(\frac{2\left(2x+2\right)}{6}< \frac{12}{6}+\frac{3\left(x-2\right)}{6}\)

<=> \(\frac{4x+4}{6}< \frac{12}{6}+\frac{3x-6}{6}\)

Khử mẫu

<=> 4x + 4 < 12 + 3x - 6

<=> 4x - 3x < 12 - 6 - 4

<=> x < 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2