Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P là điểm nằm trên cung BC không chứa A. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. Kẻ phân giác AD của tam giác ABC (D thuộc BC). Chứng minh rằng PD là phân giác của tam giác PBC khi và chỉ khi X là trung điểm của YZ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4 tháng 3 2020
Vì c, d là 2 số nguyên liên tiếp nên \(d=c+1\)
Thay vào đẳng thức \(a-b=a^2c-b^2d\)ta được
\(a-b=a^2c-b^2\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[c\left(a+b\right)-1\right]=b^2\)
Dễ dàng chứng minh được \(\left(a-b,c\left(a+b\right)-1\right)=1\)
nên \(\left|a-b\right|\)là số chính phương
4 tháng 3 2020
Không mất tính tổng quát , giả sử m < n < p < q
Nếu m \(\ge\)3 thì : \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{3.5.7}< 1\)
Suy ra m = 2
Khi đó : \(\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2npq}=\frac{1}{2}\) ( 1 )
Nếu n \(\ge\)5 thì \(\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2npq}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{2.5.7.11}< \frac{1}{2}\)
Vậy n = 3 và ( 1 ) trở thành : \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{6pq}=\frac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow\left(p-6\right)\left(q-6\right)=37\Rightarrow p=7;q=43\)
Vậy (m,n,p,q) = .( 2,3,7,43 ) và các hoán vị của nó
4 tháng 3 2020
Gọi C là điểm của hai xe gặp nhau.
Gọi vận tốc xe máy là v thì vận tốc ô tô là v + 20 (đơn vị: km/h).
Trong 1h xe máy đi được: s=v.1=v(km)
Thời gian kể từ khi ô tô đi để hai xe gặp nhau là: \(t_0=\frac{s}{\left(v+20\right)-v}=\frac{s}{20}=\frac{v}{20}\left(h\right)\)
Quãng đường AC là: sAC=\(t_0.\left(v+20\right)=\frac{v}{20}.\left(v+20\right)=\frac{v^2}{20}+v\)\(\left(h\right)\)
Quãng đường CB là: sBC=sAB−sAC=\(210-\left(\frac{v^2}{20}+v\right)\left(km\right)\)Thời gian để ô tô đi quãng đường CB là: t=sBC\(:\left(v+20\right)=\left[210-\left(\frac{v^2}{20}\right)\right]\)\(:\left(v+20\right)\left(h\right)\)
Mà theo bài ra t = 1,5 (h)
Do đó \(\left[210-\left(\frac{v^2}{20}+v\right)\right]:\left(v+20\right)=1,5\)
⇔\(210-\left(\frac{v^2}{20}+v\right)=1,5v+30\)
⇔\(\frac{v^2}{20}+2,5v=180\)
⇔v2+50v=3600
⇔(v+25)2=4225
⇔v=40 (vì v > 0)
Do đó vận tốc xe máy là 40 (km/h)
Vận tốc ô tô là 60 (km/h)
NT
0