tự kẻ hình ná:>>

a) Xét tam giác MBE và tam giác NCF có

MBE=NCF(=ACB)

MEB=NFC(=90 độ)

MB=NC(gt)

=> tam giác MBE= tam giác NCF(ch-gnh)

=>ME=NF( hai cạnh t/ứ)

ME//NF( cùng vuông góc với EF)

=> MENF là hbh (có hai cạnh đối // và bằng nhau)

b) Mx//BC=> Mx//EF=> EMK=MEF=90 độ

   vì N,F,K thẳng hàng=> NFE+EFK=180 độ mà NFE=90 độ=> EFK=90 độ

ta có trong tứ giác MEFK có KME=MEF=EFK=90 độ=> MEFK là hcn=> KF=ME mà ME=FN=> KF=FN=> F là trung điểm KN

EF vuông góc với KN tại F=> EF là đường trung trực => EK=EN

\(2x^2+x-3=2x^2+3x-2x+3=\left(x-1\right)\left(2x+3\right)\)

\(3x^2+7x-6=3x^2+9x-2x-6=\left(x+3\right)\left(3x-2\right)\)

\(6x^2-14x-3\) ( đề sai ko )?  \(2x^2-14x+4\)( đề sai ko )?  

\(2x^2-3x-20=2x^2+5x-8x-20=\left(2x+5\right)\left(x-4\right)\)

cách 1:( cách không tổng quát) 

Nhận thấy \(A=x^4+3x^3-x^2+\left(2a-3\right)x+3b+a\)

\(\Leftrightarrow A=x^2\left(x^2+3x-1\right)+\left(2a-3\right)x+3b+a=x^2.B+\left(2a-3\right)x+3b+a\)

Vì B là đa thức bậc 2 nên A chia B dư (2a-3)x+3b+a.

Vì vậy, muốn A chia hết cho B thì đa thức dư phải là đa thức 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a-3=0\\3b+a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Cách 2:  thực hiện chia đa thức thông thường đề tìm đa thức dư của phép chia : A chia B. sau đó cho đa thức dư bằng đa thức 0 là được

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a,b,c > 0

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Ta có : 3x² - 5x + 7

= 3( x² - 5/3x + 25/36 ) + 59/12

= 3( x - 5/6 )² + 59/12 ≥ 59/12 > 0 ∀ x

=> đpcm

a/

Vì ABCD là hcn => BC//AD mà \(CI\in BC\) => CI//AD => AICD là hình thang

Ta có ^ADC=90

=> AIDC là hình thang vuông

b/

\(AK=\frac{AD}{2};CI=\frac{BC}{2};AD=BC\Rightarrow AK=CI\)

\(AK\in AD;CI\in BC\) mà AD//BC => AK//CI

=> AICK là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau thì tứ giác đó là hình bình hành)

c/

Gọi O là giao của AC và BD => O là trung điểm của AC và BD (AC và BD là hai đường chéo HCN)

Nối KI ta có 

AK=DK; BI=CI => KI là đường trung bình của HCN ABCD => KI//CD

Xét tg ACD có

AK=DK

KI//DC

=> KI đi qua trung điểm O của AC (trong 1 tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> AC, BD, KI cùng đi qua O

13a⁴ + 26a³ - 59a² - 72a - 36 = 0

⇔ 13a⁴ - 26a³ + 52a³ - 104a² + 45a² - 90a + 18a - 36 = 0

⇔ ( 13a⁴ - 26a³ ) + ( 52a³ - 104a² ) + ( 45a² - 90a ) + ( 18a - 36 ) = 0

⇔ 13a³( a - 2 ) + 52a²( a - 2 ) + 45a( a - 2 ) + 18( a - 2 ) = 0

⇔ ( a - 2 )( 13a³ + 52a² + 45a + 18 ) = 0

⇔ ( a - 2 )( 13a³ + 39a² + 13a² + 39a + 6a + 18 ) = 0

⇔ ( a - 2 )[ ( 13a³ + 39a² ) + ( 13a² + 39a ) + ( 6a + 18 ) ] = 0

⇔ ( a - 2 )[ 13a²( a + 3 ) + 13a( a + 3 ) + 6( a + 3 ) ] = 0

⇔ ( a - 2 )( a + 3 )( 13a² + 13a + 6 ) = 0

⇔ a - 2 = 0 hoặc a + 3 = 0 hoặc 13a² + 13a + 6 = 0

+) a - 2 = 0 => a = 2

+) a + 3 = 0 => a = -3

+) 13a² + 13a + 6 = 13( a² + a + 1/4 ) + 11/4 = 13( a + 1/2 )² + 11/4 ≥ 11/4 > 0 ∀ x

=> S = { 2 ; -3 }

( x² + 4x + 3 )( x² + 12x + 35 ) + 2021

= ( x² + x + 3x + 3 )( x² + 5x + 7x + 35 ) + 2021

= [ x( x + 1 ) + 3( x + 1 ) ][ x( x + 5 ) + 7( x + 5 ) ] + 2021

= ( x + 1 )( x + 3 )( x + 5 )( x + 7 ) + 2021

= [ ( x + 1 )( x + 7 ) ][ ( x + 3 )( x + 5 ) ] + 2021

= ( x² + 8x + 7 )( x² + 8x + 15 ) + 2021 (1)

Đặt t = x² + 8x + 11

(1) <=> ( t - 4 )( t + 4 ) + 2021

       = t² - 16 + 2021

       = t² + 2005

       = ( x² + 8x + 11 )² + 2005

Ta có : ( x² + 8x + 11 )² chia hết cho ( x² + 8x + 11 )

2005 có bậc 0 , x² + 8x + 11 có bậc 2 nên không thể chia

=> ( x² + 8x + 11 )² + 2005 chia cho ( x² + 8x + 11 ) dư 2005

hay [ ( x² + 4x + 3 )( x² + 12x + 35 ) + 2021 ] chia ( x² + 8x + 11 ) dư 2005