x( x² - y ) - x²( x - y ) + 1817

= x³ - xy - x³ + x²y + 1817

= x²y - xy + 1817

Thế x = -1 ; y = 100 ta được :

(-1)².100 - (-1).100 + 1817

= 100 + 100 + 1817

= 2017

Ta thấy \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\), các số a,b,c luân phiên thay nhau . Ta không thể kết luận a , b , c = 0 vì ĐK : \(a,b,c\ne0\left(a,b,c\inℕ^∗\right)\)và \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\Rightarrow\left(0-0\right)3=1\left(\varnothing\right)\).

Cũng không thể sử dụng tính chất x + y = x . y vì \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\). Và nếu như vậy , chỉ khi a = b = c thì mới có thể thấy \(a^2=b^2=c^2=a=b=c\)thì mới có thể thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\).

Nhưng vì \(a,b,c\ne0\)và \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)nên :

=> Không tìm được a , b , c

=> Không thể CM được \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)

\(a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=\left(1-c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=1-c^3-3c\left(1-c\right)\)

\(\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=-3c\left(1-c\right)\)(vì \(a^3+b^3+c^3=1\))

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+c\right)=0\)(vì \(a+b=1-c\))

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=0\\ab+c=0\end{cases}}\)

- \(a+b=0\Rightarrow c=1\Rightarrow a=b=0\).

- \(ab+c=0\): 

Suy ra \(a+b-ab-1=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

+) \(a=1\Rightarrow b=c=0\)

+) \(b=1\Rightarrow a=c=0\)

Vậy \(\left(a,b,c\right)=\left(1,0,0\right)\)và các hoán vị. 

Khi đó  \(P=1\).

SORY NHA MIK PHẢI ĐI NGỦ ĐÂY :<

Định lí Bézout : Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

Đặt f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 2x² - x + a 

      g(x) = x + 1

Áp dụng định lí Bézout ta có :

Số dư trong phép chia f(x) cho g(x) là f(-1)

f(-1) = 3.(-1)⁴ - 2.(-1)³ + 2.(-1)² - (-1) + a

        = 3 + 2 + 2 + 1 + a

        = a + 8

Để f(x) chia hết cho g(x) thì dư phải bằng 0

tức là a + 8 = 0 => a = -8

Vậy với a = -8 thì ( 3x⁴ - 2x³ + 2x² - x + a ) chia hết cho ( x + 1 )