Cho tam giác ABC có đáy BC cố định, đỉnh A thay đổi trên một nửa mặt phẳng bờ BC sao cho S_ABC  không đổi.
Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác chạy trên một đường thẳng cố định.

A B C d G H M K

Dựng đường cao AH (H thuộc BC)

Dựng trung tuyến AM, G là trọng tâm \(\Rightarrow\frac{MG}{AM}=\frac{1}{3}\)

\(S_{ABC}=\frac{BC.AH}{2}\) Ta có \(S_{ABC}\) không đổi, BC cố định không đổi => AH không đổi => A chạy trên đường thẳng d//BC

Từ G dựng GK//AH (K thuộc BC)

\(\Rightarrow\frac{MG}{AM}=\frac{KG}{AH}=\frac{1}{3}\) (Talet trong tam giác) \(\Rightarrow KG=\frac{AH}{3}\) không đổi

Mà GK//AH, AH vuông góc với BC => GK vuông góc với BC => G chạy trên đường thẳng //BC cách BC 1 khoảng không đổi\(=\frac{AH}{3}\)

Ta có : \(x+\frac{1}{x}=3\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=9\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=7\)

\(\Rightarrow C=x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2=7^2-2=47\)

Vậy \(C=47\)

Áp dụng BĐT Cauchy và Cauchy - Schwarz ta có:

 \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy\cdot\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{1^2}=4+2+5=11\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Gọi ABCD là tứ giác có:AB=6cm,CD=18cm,AC=12cm,BD=16cm,AC và BD đi qua E

Suy ra AE/EC=BE/ED=AB/DC=1/3

Suy ra AE/AE + EC = BE/BE + ED = 1/3+1

Suy ra AE/AC=BE/BD=1/4

Suy ra AE=1/4 AC=3 suy ra CE=AC - AE=9

BE=1/4 BD = 4 suy ra DE=BD - DE=12

\(\left(\frac{x}{2}+1\right)^3-\frac{x^3}{2}-4=0\)

kĩ thuật nhân thêm 2 : 

\(2\left(\frac{x}{2}+1\right)^3-\frac{x^3}{2}-8=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{4}+x^2+x+\frac{x^2}{2}+2x+2-x^3-8=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-3x^3}{4}+\frac{3x^2}{2}+3x-6=0\)

\(\Leftrightarrow-3\left(\frac{x^3}{4}-\frac{x^2}{2}-x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3-2x^2-4x+8}{4}=0\Leftrightarrow x^3-2x^2-4x+8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)-4\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=\pm2\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = { -2 ; 2 } 

O A B C D

Ta có AB//CD (2 đáy của hình thang ABCD)

\(\Rightarrow\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{CD}\Rightarrow\frac{OA}{OA+AD}=\frac{OB}{OB+BC}=\frac{AB}{CD}\)

Từ \(\frac{OA}{OA+AD}=\frac{AB}{CD}\Rightarrow\frac{OA}{OA+9}=\frac{12}{30}\Rightarrow AO=6cm\)

Từ \(\frac{OB}{OB+BC}=\frac{AB}{CD}\Rightarrow\frac{OB}{OB+15}=\frac{12}{30}\Rightarrow OB=10cm\)

Ta thấy với \(x=0\)thay vào phương trình ta có:

\(0-8.0+21.0-24.0+9=9\ne0\)

\(\Rightarrow x=0\)không là nghiệm của phương trình

Khi đó, chia cả 2 vế cho \(x^2\)ta được: 

\(x^2-8x+21-24.\frac{1}{x}+\frac{9}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6+\frac{9}{x^2}\right)-\left(8x+24.\frac{1}{x}\right)+15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{x}\right)^2-8\left(x+\frac{3}{x}\right)+15=0\)

Đặt \(x+\frac{3}{x}=t\)

\(\Rightarrow t^2-8t+15=0\)\(\Leftrightarrow t^2-3t-5t+15=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-3\right)-5\left(t-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-3=0\\t-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=5\end{cases}}\)

+) Nếu \(t=3\)\(\Rightarrow x+\frac{3}{x}=3\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+3}{x}=\frac{3x}{x}\)\(\Leftrightarrow x^2+3=3x\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+3=0\)\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)\(\forall x\)\(\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm

+) Nếu \(t=5\)\(\Leftrightarrow x+\frac{3}{x}=5\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2+3}{x}=\frac{5x}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2+3=5x\)\(\Leftrightarrow x^2-5x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{13}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{13}{4}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{5}{2}=\frac{-\sqrt{13}}{2}\\x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S=\left\{\frac{5-\sqrt{13}}{2};\frac{5+\sqrt{13}}{2}\right\}\)