năm nay tuổi Nam : tuổi mẹ = 1/3

   14 năm nữa tuổi Nam : tuổi mẹ = 1/2

               1/2-1/3=1/6

   vậy 1/6 tổng số tuổi của mẹ và Nam 14 năm nữa là 14 tuổi

      tổng số tuổi của mẹ và Nam 14 năm nữa là:

            14 : 1/6 = 84 tuổi

     tổng số tuổi của mẹ và Nam năm nay là:

           84 - 14 x 2 = 56 tuổi

     tuổi của Nam năm nay là:

           56 : ( 3+1 ) x 1 = 14 tuổi

                        đ/s: 14 tuổi

ĐKXĐ : x ≠ ±1

pt <=> \(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}+\frac{3}{x^2-1}=0\)

<=> \(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}+\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2-2x+1}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}+\frac{2}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}+\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2-2x+1+2+3x-3}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x}{\left(x-1\right)^2}=0\)

=> x = 0 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x-2\ne0\\x^2-2x\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne2\end{cases}}\)

Khi đó\(\frac{x+1}{x}-\frac{x+5}{x-2}=\frac{1}{x^2-2x}\)

<=> \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x\left(x+5\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\)

<=> \(\frac{x^2-x-2-x^2-5x}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\)

<=> \(\frac{-6x-2}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\)

<=> -6x - 2 = 1

<=> -6x = 1

<=> x = -1/6

Vậy x = -1/6 là nghiệm của phương trình

Ta có: \(\frac{x+1}{x}-\frac{x+5}{x-2}=\frac{1}{x^2-2x}\)    \(\left(ĐKXĐ:x\ne0;x\ne2\right)\)

    \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}-\frac{x+5}{x-2}-\frac{1}{x.\left(x-2\right)}=0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right).\left(x-2\right)-\left(x+5\right).x-1}{x.\left(x-2\right)}=0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{x^2-x-2-x^2-5x-1}{x.\left(x-2\right)}=0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{-6x-3}{x.\left(x-2\right)}=0\)

Vì \(x\ne0;x\ne2\)\(\Rightarrow\)\(x.\left(x-2\right)\ne0\)

mà \(\frac{-6x-3}{x.\left(x-2\right)}=0\)\(\Rightarrow\)\(-6x-3=0\)

                                         \(\Rightarrow\)\(x=-\frac{1}{2}\)\(\left(TM\right)\)

Vậy \(x\in\left\{-\frac{1}{2}\right\}\)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=3,75^2+4,5^2\)

\(BC^2=14,0625+20,25\)

\(BC^2=34,875\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{34,875}\)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có AD là đường phân giác

\(\Rightarrow\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{BD+CD}{AB+AC}=\frac{BC}{3,75+4,5}=\frac{\sqrt{34,875}}{8,25}=0,7\)

\(\Rightarrow\frac{BC}{3,75}=\frac{CD}{4,5}=0,7\)

\(\Rightarrow BC=0,7.3,75=2,625\)

\(CD=0,7.4,5=3,15\)

Sửa đề: \(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2+x+1}=\frac{3x^2}{x^3-1}ĐK:x\ne1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{3x^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(\Rightarrow x^2+x+1+2x-2=3x^2\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+3x-1=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2};1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1/2 ; 1 } 

Sửa đề: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\) thì \(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\) là số chính phương

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ca=1\left(abc\ne0\right)\)

Khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\1+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}}\)

Nhân vế với vế ta được:

\(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

=> M là số chính phương