Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge2ab+a^2+b^2=\left(a+b\right)^2\left(1\right)\)

Chia cả 2 vế của \(\left(1\right)\)cho 4 , ta được :

\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Không bạn nha=))

Đặt \(a=x+4\).

Ta có: \(\left(a-1\right)^4+\left(a+1\right)^4=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-4a^3+6a^2-4a+1\right)+\left(a^4+4a^3+6a^2+4a+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow2a^4+12a^2+2=2\)

\(\Leftrightarrow a^4+6a^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a^2+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2=0\)

\(\Rightarrow x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x=-4\).

Đặt \(x+4=a\)

Khi đó ,PT tương đương với :

\(\left(a-1\right)^4+\left(a+1\right)^4=2\)

\(\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1+a^4+4a^3+6a^2+4a+1=2\)

\(\Leftrightarrow2a^4+12a^2+2=2\)

\(\Leftrightarrow a^4+6a^2+1=1\)

\(\Leftrightarrow a^4+6a^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a^2+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2=0\)( do \(a^2+6>0\forall a\))

\(\Leftrightarrow a=0\)

\(\Leftrightarrow x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x=-4\)

Vậy PT có 1 nghiệm duy nhất là : \(x=-4\)

gọi x là vận tốc thực của cano , ta có 

\(\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=5\Leftrightarrow\frac{96x}{x^2-16}=5\)

\(\Leftrightarrow5x^2-96x-80=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=20\\x=-\frac{4}{5}\end{cases}}\)vậy x=20 hay vận tốc riêng của cano là 20km/h

Gọi 2 cạnh tam giác là x và x+2

Áp dụng định lý pytago , ta có :

x² + (x+2)² = 10²

\(=>\) x²+x²+4x+4=100

\(=>\) x=6 ( Vì x > 0 )

\(=>\) 2 cạnh góc vuông là 6cm và 8cm

\(=>\) S=6.8:2=24cm²

\(D=2x^2+y^2-2xy+2x-4y+9\)

\(D=x^2+y^2+4-2xy+4x-4y+x^2-2x+1+4\)

\(D=\left(x-y+2\right)^2+\left(x-1\right)^2+4\ge4\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y+2=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\).

\(D=2x^2+y^2-2xy+2x-4y+9\)

\(=\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(4x-4y\right)+4+\left(x^2-2x+1\right)+4\)

\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4+\left(x-1\right)^2+4\)

\(=\left(x-y+2\right)^2+\left(x-1\right)^2+4\)

Vì \(\left(x-y+2\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-y+2\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-y+2\right)^2+\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x,y\)

hay \(D\ge4\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y+2=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+2\\x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\x=1\end{cases}}\)

Vậy \(minD=4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

b) Ta có: \(x^2-x+2=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)

Mà \(-\sqrt{2x}\le0\)

=> Vô lý

\(x^2+5x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+3x-6=0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\x=2\end{cases}}\)

cảm ơn bn nha <:3

\(x^2+\left(x+1\right)^2=y^4+\left(y+1\right)^4\Leftrightarrow x^2+\left(x^2+2x+1\right)=y^4+\left(y^4+4y^3+6y^2+4y+1\right)\)\(\Leftrightarrow x^2+x=y^4+2y^3+3y^2+2y\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(y^2+y+1\right)^2\)

\(\text{⋄}\)Xét \(x\ge0\)thì \(\hept{\begin{cases}\left(x^2+x+1\right)-x^2=x+1>0\\\left(x^2+x+1\right)-\left(x+1\right)^2=-x\le0\end{cases}}\Rightarrow x^2< x^2+x+1\le\left(x+1\right)^2\)\(\Rightarrow x^2+x+1=\left(x+1\right)^2\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y\in\left\{0;-1\right\}\)(Do x nguyên và \(x^2+x+1\)là số chính phương)

\(\text{⋄}\)Xét \(x=-1\)thì \(y\in\left\{0;-1\right\}\)

\(\text{⋄}\)Xét \(x< -1\)thì \(\hept{\begin{cases}\left(x^2+x+1\right)-x^2=x+1< 0\\\left(x^2+x+1\right)-\left(x+1\right)^2=-x>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x+1\right)^2< x^2+x+1< x^2\)(Không có nghiệm nguyên) 

Vậy ta có 4 cặp nghiệm nguyên (x,y) = {(0;0) ; (0;-1) ; (-1;0) ; (-1;-1)}