1.phân tích đa thức thành nhân tử

x³ - 5x² + 8x - 4

= x³ - x² - 4x² + 4x + 4x - 4

= x²( x - 1 ) - 4x( x - 1 ) + 4( x - 1 )

= ( x - 1 )( x² - 4x + 4 ) = ( x - 1 )( x - 2 )²

2.Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c=3/2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= a² + b² + c²

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(P=a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{3}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c1/2. Vậy MinP = 3/4 

1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a²+b²+c²=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a²⁰¹⁶+2015b²⁰¹⁵+2020c

a²+b²+c²=ab+bc+ca

<=> 2( a²+b²+c² ) =2( ab+bc+ca )

<=> 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0

Dễ chứng minh VT ≥ 0 ∀ a,b,c. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Lại có a+b+c=3 => a=b=c=1

từ đây bạn thế vào tính M nhé :))

2.Cho x>y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

Ta có : \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)

<=> \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)

<=> \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{x^3-x^2y+xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2+y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{2x^2y-2xy^2}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)

<=> \(\frac{2xy\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( đúng vì x > y > 0 )

=> đpcm 

Lời giải:

Thực hiện phép biến đổi tương đương:

Ta có: $a^3+b^3+abc\ge ab(a+b+c)$

$\iff a^3+b^3+abc-ab(a+b+c)\ge 0$

$\iff a^3+b^3-ab(a+b)\ge 0$

$\iff a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge 0$

$\iff (a^2-b^2)(a-b)\ge 0$

$\iff (a-b{)}^2(a+b)\ge 0$ (luôn đúng với mọi $a,b$ dương )

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

$\mathrm{tk\; cho\; mk\; nha}$

ĐK : a,b dương

a³ + b³ ≥ ab( a + b )

<=> ( a + b )( a² - ab + b² ) - ab( a + b ) ≥ 0

<=> ( a + b )( a - b )² ≥ 0 đúng do a,b dương

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> a=b

a) 5x - 9 < 7

<=> 5x < 16

<=> x <16/5

b) 2(5 + 3x) \(\ge\)7x - 3

<=> 10 + 6x - 7x + 3 \(\ge\)0

<=> -x + 13 \(\ge\)0

<=> x \(\le\)13

GIẢI BÀI NÀY NHÉ 

a) x^2 - 5x + 4 = 0

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4.1.4=9\)

Do \(\Delta>0\)nên pt có 2 nghiệm pb

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+3}{2}=4\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-3}{2}=1\)

giúp câu b với ạ ..-.