Cho các số thực x,y dương.Đặt \(a=x+\frac{1}{y}\),\(b=y+\frac{1}{x}\)và \(c=xy+\frac{1}{xy}\)Rút gọn biểu thức \(a^2+b^2+c^2-abc\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-x-\frac{1}{x}-6=0\)( ĐKXĐ : x ≠ 0 )
<=> \(2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\)=> \(t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)=> \(x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2\)
Khi đó pt đã cho trở thành 2( t2 - 2 ) - t - 6 = 0
<=> 2t2 - 4 - t - 6 = 0
<=> 2t2 + 4t - 5t - 10 = 0
<=> 2t( t + 2 ) - 5( t + 2 ) = 0
<=> ( t + 2 )( 2t - 5 ) = 0
<=> t = -2 hoặc t = 5/2
Với t = -2 => \(x+\frac{1}{x}=-2\)<=> \(\frac{x^2+1}{x}=-2\)=> x2 + 1 = -2x <=> ( x + 1 )2 = 0 <=> x = -1 (tm)
Với t = 5/2 => \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)<=> \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{5}{2}\)=> 2x2 + 2 = 5x <=> ( 2x - 1 )( x - 2 ) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{1}{2}\end{cases}\left(tm\right)}\)
Vậy ...
\(\frac{x+1}{x+2}+\frac{5}{x-2}=\frac{4}{x-4+1}\left(ĐKXĐ:x\ne\pm2,x\ne3\right)\)
<=> \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{5}{x-2}=\frac{4}{x-3}\)
<=> \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)}+\frac{5\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)}=\frac{4\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)}\)
<=> (x + 1)(x - 3)(x - 2) + 5(x - 3)(x + 2) = 4(x - 2)(x + 2)
<=> (x2 - 3x + x - 3)(x - 2) + 5(x2 + 2x - 3x - 6) = 4(x2 - 4)
<=> x3 - 2x2 - 3x2 + 6x + x2 - 2x - 3x + 6 + 5x2 + 10x - 15x - 30 = 4x2 - 16
<=> x3 - 2x2 - 3x2 + 6x + x2 - 2x - 3x + 6 + 5x2 + 10x - 15x - 30 - 4x2 + 16 = 0
<=> x3 - 3x2 - 4x - 8 = 0
PT vô nghiệm
Vậy \(S=\varnothing\)
Sắp xếp lại và tách biến để tìm từng nghiệm
𝑥=13+213√2
x=\frac{13+\sqrt{213}}{2}x=213+213
𝑥=13−213√2
\(x^2-13x=11\)
\(\Leftrightarrow x^2-13x-11=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2.x.\frac{13}{2}+\frac{169}{4}\right)-\frac{125}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{13}{2}\right)^2=\frac{125}{4}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{125}}{2}\\x-\frac{13}{2}=\frac{-\sqrt{125}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{125}+13}{2}\\x=\frac{13-\sqrt{125}}{2}\end{cases}}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{\frac{13\pm\sqrt{125}}{2}\right\}\)
\(x^4+x^3+2x^2+x+1=0\left(1\right)\)
Ta thấy \(x=0\)không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x^2\ne0\), ta được:
\(x^2+x+2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)+2=0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a\)thì \(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2\). Phương trình (2) trở thành:
\(\left(a^2-2\right)+a+2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2+a+2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+a=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=-1\end{cases}}\)
Với \(a=0\) thì:
\(x+\frac{1}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{0}{x}\)
\(\Rightarrow x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1\)(vô nghiệm).
Với \(a=-1\)thì:
\(x+\frac{1}{x}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{-x}{x}\)
\(\Rightarrow x^2+1=-x\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\)(vô nghiệm).
Do đó phương trình (1) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(x^4+x^3+2x^2+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^3+x^2+x^2+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+x+1\right)+x^2+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)
TH1 : \(x^2=-1\)( vô lí )
TH2 : \(x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Vậy phương trình vô nghiệm