a) Xét \(\Delta BAE\)và \(\Delta DAF\)có:

\(AB=AD\)(vì \(ABCD\)là hình vuông).

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAF}\)(cùng phụ với \(\widehat{DAE}\)).

\(\widehat{ABE}=\widehat{ADF}\left(=90^0\right)\).

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta DAF\left(g.c.g\right)\).

\(\Rightarrow AE=AF\)(2 cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).

Vì \(Ax\perp AE\)(giả thiết).

\(\Rightarrow AF\perp AE\).

\(\Rightarrow\Delta AFE\)vuông tại \(A\).

Và có \(AE=AF\)(theo câu a)).

\(\Rightarrow\Delta AFE\)vuông cân tại \(A\).

Có trung tuyến \(AI\)ứng với cạnh huyền \(FE\).

\(AI\)đồng thời là đường cao của \(FE\).

\(\Rightarrow AI\perp FE\).

\(\Rightarrow GK\perp FE\).

Vì \(EG//AB\)(giả thiết).

\(\Rightarrow EG//CD\)(vì \(AB//CD\)do \(ABCD\)là hình vuông).

\(\Rightarrow GE//FK\).

\(\Rightarrow\widehat{GEF}=\widehat{KFE}\)(2 góc ở vị trí so le trong).

\(\Rightarrow\widehat{GEI}=\widehat{KFI}\).

Xét \(\Delta IGE\)và \(\Delta IKF\)có:

\(\widehat{GIE}=\widehat{KIF}\)(vì đối đỉnh).

\(IE=IF\)(giả thiết).

\(\widehat{GEI}=\widehat{KFI}\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow\Delta IGE=\Delta IKF\left(g.c.g\right)\).

\(\Rightarrow GI=KI\)(2 cạnh tương ứng).

Do đó \(I\)là trung điểm của \(GK\).

Xét tứ giác \(GEKF\)có:

2 đường chéo \(EF\)và \(GK\)cắt nhau tại \(I\).

Và \(I\)vừa là trung điểm của \(FE\), vừa là trung điểm của \(GK\).

\(\Rightarrow GEKF\)là hình bình hành.

Mà \(GK\perp FE\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow GEKF\)là hình thoi (điều phải chứng minh).

a, P là snt > 3 => \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)là tích 2 số chẵn liên tiếp ( p-1 >= 4 )

nên sẽ tồn tại 1 bội của 4 giả sử số đó là p+1

S uy ra \(p+1⋮4;p-1⋮2=>\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮8\)

Do P là snt lẻ > 3 => P sẽ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 

rồi thay vồ => đpcm

\(x^2+xy-2019x-2020y-2021=x^2+xy+x-\left(2020x+2020y+2020\right)-1\)

\(=x\left(x+y+1\right)-2020\left(x+y+1\right)-1=\left(x-2020\right)\left(x+y+1\right)-1\)

làm tắt xíu :))

\(P=x^2+y^2-1\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-1\)

\(=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN P là -1/2 khi x = 1/2 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta có :

\(x^2+y^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

=> P = x² + y² - 1 ≥ 1/2 - 1 = -1/2

Dấu "=" xảy ra <=> x=y = 1/2 . Vậy MinP = -1/2

a/

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow BC^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=10cm\)

Theo định lý đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

Mà \(BD+CD=BC=10cm\)

\(\Rightarrow CD=4x\frac{10}{3+4}=\frac{40}{7}cm\)

b/ Xét tg vuông DEC và tg vuông ABC có

\(\widehat{ACB}\) chung

\(\widehat{DEC}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )

=> tg DEC đồng dạng với tg ABC (g.g.g)

c/ ta có

\(\widehat{BAE}=90^o;\widehat{BDE}=90^o\) => A và D cùng nhìn BE dưới cùng 1 góc bằng 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

Ta có sđ\(\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\) sđ cung BD \(=45^o\)(Góc nội tiếp)

sđ\(\widehat{BED}=\frac{1}{2}\) sđ cung BD (Góc nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BAD}=45^o\)

Xét tg vuông BDE có

\(\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BED}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EBD}=\widehat{BED}=45^o\) => tg BDE cân tại D