\(x\left(4x-3\right)=\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2-3x=4x^2-1\Leftrightarrow-3x=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy tập nghiệm của pt là S = { 1/3 } 

\(\left(y-2\right)x^2+1=y^2\Leftrightarrow\left(y-2\right)x^2=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

- \(y=2\)không thỏa. 

- \(y\ne2\): \(x^2=\frac{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{y-2}\)

Nếu \(y=1\Rightarrow x=0\).

Nếu \(y\ne1\)suy ra \(\left(y-1,y-2\right)=1\Rightarrow\left(y+1\right)⋮\left(y-2\right)\)

\(\Rightarrow3⋮\left(y-2\right)\Rightarrow y-2\inƯ\left(3\right)=\left\{-3,-1,1,3\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-1,3,5\right\}\)(do \(y\ne1\))

Ta chỉ có cặp \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0,-1\right)\right\}\)thỏa. 

\(x^3-x^2y+3x-2y-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x-y\right)=5-x\)

\(\Leftrightarrow x-y=\frac{5-x}{x^2+2}\)

\(\Rightarrow\frac{5-x}{x^2+2}\inℤ\Rightarrow\left(5+x\right).\frac{5-x}{x^2+2}=\frac{25-x^2}{x^2+2}=\frac{27}{x^2+2}-1\inℤ\)

\(\Rightarrow x^2+2\inƯ\left(27\right)=\left\{3,9,27\right\}\)(vì \(x^2+2\ge2\)) 

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{1,7,25\right\}\)

Vì \(x\inℤ\Rightarrow x\in\left\{-5,-1,1,5\right\}\).

Thử lại giá trị của \(x\)ta được \(x\in\left\{-1,5\right\}\)thì \(\frac{5-x}{x^2+2}\inℤ\).

Suy ra cặp: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-1,-3\right),\left(5,5\right)\right\}\).

\(x^2+x+1=2xy+y\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+4-8xy-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4y\left(2x+1\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2x+1-4y\right)=-3\)

Từ đây bạn giải ra nghiệm. 

x² + x + 1 = 2xy + y

<=> x² + ( 2y + 1 )x - y + 1 = 0 (*)

Δ = b² - 4ac = ( 2y + 1 )² - 4( -y + 1 ) = 4y² + 4y + 1 + 4y - 4 = 4y² + 8y - 3

(*) có nghiệm <=> Δ ≥ 0 <=> 4y² + 8y - 3 ≥ 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}y\ge\frac{-2+\sqrt{7}}{2}\\y\le\frac{-2-\sqrt{7}}{2}\end{cases}}\)

Vì y nguyên => y ∈ { -1 ; 0 }

Với y = -1 (*) trở thành x² - x + 2 = 0 <=> ( x + 1 )( x - 2 ) = 0 <=> x = -1 (nhận) hoặc x = 2 (nhận)

Với y = 0 (*) trở thành x² + x - 1 = 0 dễ thấy phương trình này không có nghiệm nguyên :>

Vậy ( x ; y ) = { ( -1 ; -1 ) , ( 2 ; -1 ) }

\(x^4-2y^4-x^2y^2-4x^2-7y^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2y^2-5\right)\left(x^2+y^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2y^2-5=0\)

Dễ thấy \(x\)lẻ suy ra \(x=2k+1\).

\(\left(2k+1\right)^2-2y^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow4k^2+4k-4=2y^2\)

Suy ra \(y\)chẵn \(\Rightarrow y=2t\).

\(4k^2+4k-4=8t^2\)

\(\Leftrightarrow k^2+k-1=2t^2\)

\(\Leftrightarrow k\left(k+1\right)=2t^2+1\)

Dễ thấy VT là số chẵn còn VP là số lẻ. Suy ra phương trình vô nghiệm. 

\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

-2a > -2b <=> a < b ( chia cả hai vế cho -2 và đổi chiều ) 

b) Vì \(BE\)là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\)nên \(\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\).

Vì \(\Delta DAB\)đồng dạng với \(\Delta ACB\)nên: \(\frac{BD}{BA}=\frac{AB}{CB}\)

Suy ra \(\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{BA}\Leftrightarrow AE.AB=EC.BD\)(đpcm).

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)(1) 

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: 

\(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right]^2>\frac{1}{8}\).

Ta có: \(x^2+2y^2+3xy-2x-y=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2+xy-2x-y=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-1+\left(y^2+xy+y\right)-\left(2x+2y+2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x+y-1\right)+y\left(x+y+1\right)-2\left(x+y+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x+2y-3\right)=3\)

Đến đây giải PT ước số ra thì dễ rồi

\(x^2+2y^2+3xy-2x-y=6\)

\(\Rightarrow x^2+x\left(3y-2\right)+2y^2-y-3=3\)

Xét : \(\Delta\left(VT\right)=\left(3y-2\right)^2-4\left(2y^2-y-3\right)=\left(y-4\right)^2\)

\(\Rightarrow\)PT có nghiệm là \(x=-y-1\)và  \(x=3-2y\)

\(\Rightarrow\left(x+y+1\right)\left(x-3+2y\right)=3=1.3=3.1=\left(-1\right).\left(-3\right)=\left(-3\right).\left(-1\right)\)

Giải hệ 

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left( -6,6\right);\left(0,2\right);\left(-4,2\right);\left(-10,6\right)\)