\(x^3-x^2y+3x-2y-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x-y\right)=5-x\)

\(\Leftrightarrow x-y=\frac{5-x}{x^2+2}\)

\(\Rightarrow\frac{5-x}{x^2+2}\inℤ\Rightarrow\left(5+x\right).\frac{5-x}{x^2+2}=\frac{25-x^2}{x^2+2}=\frac{27}{x^2+2}-1\inℤ\)

\(\Rightarrow x^2+2\inƯ\left(27\right)=\left\{3,9,27\right\}\)(vì \(x^2+2\ge2\)) 

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{1,7,25\right\}\)

Vì \(x\inℤ\Rightarrow x\in\left\{-5,-1,1,5\right\}\).

Thử lại giá trị của \(x\)ta được \(x\in\left\{-1,5\right\}\)thì \(\frac{5-x}{x^2+2}\inℤ\).

Suy ra cặp: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-1,-3\right),\left(5,5\right)\right\}\).

\(x^2+x+1=2xy+y\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+4-8xy-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4y\left(2x+1\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2x+1-4y\right)=-3\)

Từ đây bạn giải ra nghiệm. 

x² + x + 1 = 2xy + y

<=> x² + ( 2y + 1 )x - y + 1 = 0 (*)

Δ = b² - 4ac = ( 2y + 1 )² - 4( -y + 1 ) = 4y² + 4y + 1 + 4y - 4 = 4y² + 8y - 3

(*) có nghiệm <=> Δ ≥ 0 <=> 4y² + 8y - 3 ≥ 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}y\ge\frac{-2+\sqrt{7}}{2}\\y\le\frac{-2-\sqrt{7}}{2}\end{cases}}\)

Vì y nguyên => y ∈ { -1 ; 0 }

Với y = -1 (*) trở thành x² - x + 2 = 0 <=> ( x + 1 )( x - 2 ) = 0 <=> x = -1 (nhận) hoặc x = 2 (nhận)

Với y = 0 (*) trở thành x² + x - 1 = 0 dễ thấy phương trình này không có nghiệm nguyên :>

Vậy ( x ; y ) = { ( -1 ; -1 ) , ( 2 ; -1 ) }

\(x^4-2y^4-x^2y^2-4x^2-7y^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2y^2-5\right)\left(x^2+y^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2y^2-5=0\)

Dễ thấy \(x\)lẻ suy ra \(x=2k+1\).

\(\left(2k+1\right)^2-2y^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow4k^2+4k-4=2y^2\)

Suy ra \(y\)chẵn \(\Rightarrow y=2t\).

\(4k^2+4k-4=8t^2\)

\(\Leftrightarrow k^2+k-1=2t^2\)

\(\Leftrightarrow k\left(k+1\right)=2t^2+1\)

Dễ thấy VT là số chẵn còn VP là số lẻ. Suy ra phương trình vô nghiệm. 

\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

-2a > -2b <=> a < b ( chia cả hai vế cho -2 và đổi chiều ) 

b) Vì \(BE\)là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\)nên \(\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\).

Vì \(\Delta DAB\)đồng dạng với \(\Delta ACB\)nên: \(\frac{BD}{BA}=\frac{AB}{CB}\)

Suy ra \(\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{BA}\Leftrightarrow AE.AB=EC.BD\)(đpcm).

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)(1) 

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: 

\(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right]^2>\frac{1}{8}\).

Ta có: \(x^2+2y^2+3xy-2x-y=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2+xy-2x-y=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-1+\left(y^2+xy+y\right)-\left(2x+2y+2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x+y-1\right)+y\left(x+y+1\right)-2\left(x+y+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x+2y-3\right)=3\)

Đến đây giải PT ước số ra thì dễ rồi

\(x^2+2y^2+3xy-2x-y=6\)

\(\Rightarrow x^2+x\left(3y-2\right)+2y^2-y-3=3\)

Xét : \(\Delta\left(VT\right)=\left(3y-2\right)^2-4\left(2y^2-y-3\right)=\left(y-4\right)^2\)

\(\Rightarrow\)PT có nghiệm là \(x=-y-1\)và  \(x=3-2y\)

\(\Rightarrow\left(x+y+1\right)\left(x-3+2y\right)=3=1.3=3.1=\left(-1\right).\left(-3\right)=\left(-3\right).\left(-1\right)\)

Giải hệ 

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left( -6,6\right);\left(0,2\right);\left(-4,2\right);\left(-10,6\right)\)

\(\left(x^2-1\right)^3+\left(x^2+2\right)^3+\left(2x-1\right)^3+\left(3x+3\right)\left(2x-1\right)\)\(.\left(1-x\right)\left(x^2+2\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^3+\left(x^2+2\right)^3+\left(2x-1\right)^3-3\left(x+1\right)\left(2x-1\right)\)\(.\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^3+\left(x^2+2\right)^3+\left(2x-1\right)^3-3\left(x^2-1\right)\left(2x-1\right)\)\(.\left(x^2+2\right)=0\).

Đặt \(x^2-1=a\), \(x^2+2=b\), \(2x-1=c\). Phương trình trở thành:

\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\).

\(\Leftrightarrow\left[a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\right]-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\left(2\right)\end{cases}}\).

Xét phương trình \(\left(1\right)\).

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-1+x^2+2+2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x=0\).

\(\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\).

Xét phương trình \(\left(2\right)\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0.2\).

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1-x^2-2\right)^2+\left(x^2+2-2x+1\right)^2+\left(2x-1-x^2+1\right)^2=0\).

\(\Leftrightarrow\left(-3\right)^2+\left[\left(x-1\right)^2+2\right]^2+\left(-x^2+2x\right)^2=0\).

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)^2+2\right]^2+\left(x^2-2x\right)^2+9=0\).

Ta có:

\(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\).

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+2\ge2\forall x\).

\(\Rightarrow\left[\left(x-1\right)^2+2\right]^2\ge4\forall x\).

\(\Rightarrow\left[\left(x-1\right)^2+2\right]^2+9\ge13\forall x\).

\(\Rightarrow\left[\left(x-1\right)^2+2\right]^2+9>0\forall x\).

\(\left(x^2-2x\right)^2\ge0\forall x\).

\(\Rightarrow\left[\left(x-1\right)^2+2\right]^2+9+\left(x^2-2x\right)^2>0\forall x\).

Do đó phương trình \(\left(2\right)\)vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{0;-1\right\}\).

\(\)

\(B=\frac{x}{1-x}+\frac{5}{x}=\frac{x-1}{1-x}+\frac{5}{x}+\frac{1}{1-x}=-1+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^2}{x}+\frac{1^2}{1-x}\)

\(\ge-1+\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{x+1-x}=5+2\sqrt{5}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{1}{1-x}\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{5}}{4}\).

\(B=\frac{x}{1-x}+\frac{5}{x}\)

\(=\frac{x}{1-x}+\frac{5-5x+5x}{x}\)

\(=\frac{x}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}+\frac{5x}{x}\)

\(=\frac{x}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}+5\)

Có : \(0< x< 1\)

\(\Rightarrow\frac{x}{1-x}>0\); \(\frac{5\left(1-x\right)}{x}>0\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương , có :

\(\frac{x}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{1-x}.\frac{5\left(1-x\right)}{x}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1-x}+ \frac{5\left(1-x\right)}{x}\ge2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1-x}+\frac{5\left(1-x\right)}{x}+5\ge2\sqrt{5}+5\)

\(\Rightarrow B\ge2\sqrt{5}+5\)

Vậy GTNN của \(B=2\sqrt{5}+5\)khi

\(\frac{x}{1-x}=\frac{5\left(1-x\right)}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2=5\left(1-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2=5x^2-10x+5\)

\(\Leftrightarrow4x^2-10x+5=0\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{5}}{4}\)