Cộng theo từng vế của hai phương trình ta được: 

 \(x^2-y^2=\left(2y+3x-6\right)-\left(2x+3y-6\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)=x-y\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=1-y\end{cases}}\)

TH1: \(x=y\)thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(x^2=2x+3x-6\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=3\\y=2\end{cases}}\)

TH2: \(x=1-y\)thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\(\left(1-y\right)^2=2y+3\left(1-y\right)-6\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1=-y-3\)

\(\Leftrightarrow y^2-y+4=0\)(vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(3;3\right),\left(2;2\right)\right\}\)

Trừ theo từng vế, nhầm.

\(9=3^2\)

\(min=1,min=2\left(\varnothing\right)\)

\(min=3\Rightarrow3^2+3+1=3^2+4\Leftrightarrow3^2⋮9\)\(;\)\(4⋮̸9\)

\(\Rightarrow n^2+n+1⋮̸9\)

Theo mình nghĩ đề cần thêm điều kiện n là STN

Bài làm:

Xét n có 3 dạng sau: 3k ; 3k+1 ; 3k+2

Nếu \(n=3k\) khi đó:

\(n^2+n+1=9k^2+3k+1=3k\left(3k+1\right)+1\) không chia hết cho 3

=> BT không chia hết cho 9

Nếu \(n=3k+1\) khi đó:

\(n^2+n+1=\left(3k+1\right)^2+3k+1+1=9k^2+6k+1+3k+2\)

\(=9k^2+9k+3=9\left(k^2+k\right)+3\) không chia hết cho 9

Nếu \(n=3k+2\) khi đó:

\(n^2+n+1=\left(3k+2\right)^2+3k+2+1=9k^2+12k+4+3k+3\)

\(=9k^2+15k+7=3\left(3k^2+5k+2\right)+1\) không chia hết cho 3

=> BT không chia hết cho 9

Từ 3 điều trên => đpcm

đk: \(\hept{\begin{cases}x+2\ge0\\y+2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-2\\y\ge-2\end{cases}}}\)

pt(1) tương đương với: \(x^3+x+2=\left(y-1\right)^3+\left(y-1\right)+2\)

\(\Leftrightarrow\text{[}x^3-\left(y-1\right)^3\text{]}+x-\left(y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\text{ }\left[x^2+x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Vậy x=y-1 . Thay vào pt(2) ta có:

\(2\sqrt{y+1}=y+2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+2\ge0\\4\left(y+1\right)=\left(y+2\right)^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge-2\\y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge-2\\y=0\left(nh\text{ận}\right)\end{cases}}}\)

Với y=0 ta có x=0-1=-1

Vậy hệ pt có nghiệm: (x;y)=(-1;0)

đk: \(x\ge y>0\). nhân tương ứng với vế hai pt của hệ ta được 2=(x+y)-(x-y)=>y=1. Với y=1 thay vào pt (2) ta có:

\(\sqrt{\frac{5}{x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\)

Xét pt trên ta thấy:

\(x=\frac{5}{4}\)là 1 nghiệm của pt

Nếu \(x>\frac{5}{4}\Rightarrow VT< 2< VP\)

Nếu \(x< \frac{5}{4}\Rightarrow VT>2>VP\)

do đó x=5/4 là nghiệm duy nhất của pt

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất là (x;y)=(5/4;1)

\(\sqrt{48-2\sqrt{135}}-\sqrt{45}+\sqrt{18}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{45}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2-2\cdot\sqrt{45}\cdot\sqrt{3}}-\sqrt{45}+\sqrt{18}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{45}-\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{45}+\sqrt{18}\)

\(=\left|\sqrt{45}-\sqrt{3}\right|-\sqrt{45}+3\sqrt{2}\)

\(=-\sqrt{3}+3\sqrt{2}\)

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)=1\)

ĐK : \(x-1\)và \(y-1\)bằng 1 ; \(x\left(y-1\right)=2,y\left(x+1\right)=4\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=2\\y=2\end{cases}}\)

\(=3\sqrt{10}-\sqrt{5}+6-\sqrt{2}\)

đk: \(x\ge0;y\ge-1\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow y^2-\left(x^2-5x-1\right)y-\left(x^3-3x^2-4x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+x+1\right)\left(y-x^2+4x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x^2-4x\\y+x+1=0\end{cases}}\)

Từ pt(2) \(\Leftrightarrow3\sqrt{x}=\sqrt{y+1}+x+1\ge1\Rightarrow x>0\Rightarrow y+x+1>0\)

Vậy ta có \(\left(1\right)\Leftrightarrow y=x^2-4x\)

Thay \(y=x^2-4x\)vào (1) ta có: \(3\sqrt{x}-\sqrt{x^2-4x+1}=x+1\left(3\right)\)

Vì x=0 không là nghiệm của (3) nên \(\left(3\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}-4}=3\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\left(t\ge2\right)\Rightarrow x+\frac{1}{x}=t^2-2\). PT trở thành:

\(t+\sqrt{t^2-6}=3\Leftrightarrow\sqrt{t^2-6}=3-t\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t\le3\\t^2-6=\left(3-t\right)^2\end{cases}}\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{25}{4}-2\Leftrightarrow x^2-\frac{17}{4}x+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Từ đó suy ra hệ pt có 2 nghiệm: \(\left(4;0\right);\left(\frac{1}{4};\frac{-15}{16}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-\left(x^2-2x+1\right)}=2x^3-x^2-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-\left(x-1\right)^2}=2x^3-x^2-1\)(*)

Ta thấy nếu \(x\ne1\)thì \(\sqrt{-\left(x-1\right)^2}\)không xác định:

Vậy x phải bằng 1. Thử lại vào (*) ta được: \(0=2.1^3-1^2-1=0\)(đúng)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\)