\(U_n\) có chữ số tận cùng là 7

=>\(5n+2\) có chữ số tận cùng là 7

=>5n có chữ số tận cùng là 5

=>n lẻ

Số lượng số lẻ trong dãy số từ 10;11;...;2023 là:

\(\dfrac{\left(2023-11\right)}{2}+1=1007\left(số\right)\)

=>Trong dãy này có 1007 số hạng có tận cùng là 7

Để \(U_n\) có chữ số tận cùng là 2 thì \(5n+2\) có chữ số tận cùng là 2

=>5n có chữ số tận cùng là 0

=>n chẵn

=>\(U_n=5n⋮10\)

Số lượng số hạng \(U_n\) chia hết cho 10 khi \(960< U_n< 6900\) là:

\(\dfrac{\left(6900-960\right)}{10}+1-2=595-2=593\left(số\right)\)

\(\dfrac{\Omega}{2}< a< \Omega\)

=>\(cosa< 0\)

\(sin\alpha=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha=1-sin^2\alpha=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9}\)

mà cosa<0

nên \(cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(cos\left(\alpha-\dfrac{\Omega}{6}\right)=cos\alpha\cdot cos\left(\dfrac{\Omega}{6}\right)+sin\alpha\cdot sin\left(\dfrac{\Omega}{6}\right)\)

\(=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\)

\(=\dfrac{-2\sqrt{6}+1}{6}\)

Để \(u_n\) có tận cùng là 7 thì \(6^n+1\) có tận cùng là 7

=>\(6^n\) có chữ số tận cùng là 6

=>\(n\in Z^+\)

\(69000< U_n< 960000\)

=>\(69000< 6^n+1< 960000\)

=>\(68999< 6^n< 959999\)

=>\(log_668999< n< log_6959999\)

=>\(6,22< n< 7,68\)

mà n là số tự nhiên

nên n=7

=>Có 1 số hạng duy nhất thỏa mãn

ABCD.A'B'C'D' là hình hộp

=>ABCD là hình chữ nhật và A'B'C'D' là hình chữ nhật và AB=CD=A'B'=C'D' và AD=BC=A'D'=B'C'

Xét tứ giác ABC'D' có

AB//C'D'

AB=C'D'

Do đó: ABC'D' là hình bình hành

=>AD'//BC'

Xét tứ giác BDD'B' có

BB'//DD'

BB'=D'D

Do đó; BDD'B' là hình bình hành

=>BD//B'D'

Xét tứ giác ADC'B' có

AD//C'B'

AD=C'B'

Do đó: ADC'B' là hình bình hành

=>AB'//DC'

Ta có: C'B//AD'

BD//B'D'

C'D//AB'

Do đó: (C'BD)//(ADB')

Để \(U_n\) có chữ số tận cùng là 9 thì \(4^n+3\) có chữ số tận cùng là 9

=>\(4^n\) có chữ số tận cùng là 6

=>\(n=4k+2\left(k\in N\right)\)

Để \(U_n< 10000\) thì \(4^n+3< 10000\)

=>\(4^n< 9997\)

=>\(n< log_49997\simeq6,6\)

mà n nguyên dương và n chia 4 dư 2

nên \(n\in\left\{2;6\right\}\)

=>Có 2 số hạng trong dãy \(\left(U_n\right)\) thỏa mãn

Ta sẽ chứng minh \(\left(u_n\right)\) giảm, tức \(u_{n+1}< u_n\) (*) bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1: \(u_2-u_1=\dfrac{u_1^2+1}{4}-u_1=\dfrac{2^2+1}{4}-2=\dfrac{-3}{4}< 0\)

Giả sử (*) đúng với n = k (\(k\in N;k>1\)), tức \(u_{k+1}< u_k\)

Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức \(u_{k+2}< u_{k+1}\)

\(u_{k+2}=\dfrac{\left(u_{k+1}\right)^2+1}{4}< \dfrac{u_k^2+1}{4}=u_{k+1}\)

Theo nguyên lí quy nạp, ta được đpcm.

Vậy \(\left(u_n\right)\) giảm.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(2x+\sqrt{4x^2-x+1}\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{4x^2-\left(4x^2-x+1\right)}{2x-\sqrt{4x^2-x+1}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x-1}{2x-\sqrt{x^2\left(4-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x-1}{2x+x\cdot\sqrt{4-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{2+\sqrt{4-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}}\)

\(=\dfrac{1-0}{2+\sqrt{4-0+0}}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}\)

Dòng 4 bạn phá căn ra từ x^2 ở ngoài có dấu trừ mà sau đó lại cộng vậy