Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow z=1-x-y\)

Khi đó: \(xy+z=xy+1-x-y\)

\(=x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)       (1)

Tương tự, ta cũng có: \(\left\{{}\begin{matrix}yz+x=\left(y-1\right)\left(z-1\right)\\zx+y=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\end{matrix}\right.\)  (2)

Lại có: \(x+y+z=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1-z\\y+z=1-x\\z+x=1-y\end{matrix}\right.\)    (3)

Thay (1); (2) và (3) vào \(T\), ta được:

\(T=\dfrac{\left[\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\left[\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]}{\left(1-z\right)^2\left(1-x\right)^2\left(1-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2}{\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2}=1\)

Vậy \(T=1\).

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHCB vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HCB}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHCB

=>\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HA}{HB}\)

=>\(HB^2=HA\cdot HC\)

b: Ta có: HM\(\perp\)BA

BC\(\perp\)BA

Do đó: HM//BC

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔHNC vuông tại N có

\(\widehat{MHA}=\widehat{NCH}\)(hai góc đồng vị, MH//BC)

Do đó: ΔAMH~ΔHNC

c: Xét tứ giác BMHN có \(\widehat{BMH}=\widehat{BNH}=\widehat{MBN}=90^0\)

nên BMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{NMH}=\widehat{NBH}\)

mà \(\widehat{NBH}=\widehat{BAC}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)

nên \(\widehat{NMH}=\widehat{BAC}\)

Ta có: BMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{MNH}=\widehat{MBH}\)

mà \(\widehat{MBH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{A}\right)\)

nên \(\widehat{MNH}=\widehat{C}\)

Ta có: ΔCHN vuông tại N

mà NI là đường trung tuyến

nên IN=IH

=>ΔINH cân tại I

=>\(\widehat{INH}=\widehat{IHN}\)

mà \(\widehat{IHN}=\widehat{A}\)(hai góc đồng vị, NH//AB)

nên \(\widehat{INH}=\widehat{A}\)

Ta có: ΔHMA vuông tại M

mà MK là đường trung tuyến

nên KH=KM

=>ΔKHM cân tại K

=>\(\widehat{KMH}=\widehat{KHM}\)

mà \(\widehat{KHM}=\widehat{C}\)(hai góc đồng vị, MH//BC)

nên \(\widehat{KMH}=\widehat{C}\)

\(\widehat{INM}=\widehat{INH}+\widehat{MNH}=\widehat{C}+\widehat{A}=90^0\)

=>IN\(\perp\)NM(1)

\(\widehat{KMN}=\widehat{KMH}+\widehat{NMH}=\widehat{C}+\widehat{A}=90^0\)

=>NM\(\perp\)MK(2)

Từ (1),(2) suy ra MK//NI

Xét tứ giác KMNI có MK//NI

nên KMNI là hình thang

Hình thang KMNI có IN\(\perp\)NM

nên KMNI là hình thang vuông

a: Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(\dfrac{DE}{8}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(DE=8\cdot\dfrac{2}{5}=3,2\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác BDFC có

BD//FC

DF//BC

Do đó: BDFC là hình bình hành

=>DF=BC=8cm

DE+EF=DF

=>EF+3,2=8

=>EF=4,8(cm)

Xét ΔIFE và ΔIBC có

\(\widehat{IFE}=\widehat{IBC}\)(hai góc so le trong, FE//BC)

\(\widehat{FIE}=\widehat{BIC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIFE~ΔIBC

=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{FE}{BC}\)

=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{4.8}{8}=\dfrac{3}{5}\)

c: Xét ΔIFC và ΔIBA có

\(\widehat{IFC}=\widehat{IBA}\)(hai góc so le trong, FC//BA)

\(\widehat{FIC}=\widehat{BIA}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIFC~ΔIBA

=>\(\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{IC}{IA}\)

=>\(\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{IE}{IC}\)

=>\(IC^2=IE\cdot IA\)

Gọi độ dài của quãng đường AB là: \(x\left(km\right)\)

ĐK: \(x>0\)

Tổng vận tốc khi đi và về là: \(2\cdot40=80\left(km\right)\)

Vận tốc về là: \(\left(80+5\right):2=\dfrac{85}{2}\left(km/h\right)\)

Vận tốc đi là: \(\left(80-5\right):2=\dfrac{75}{2}\left(km/h\right)\)

Thời gian về là: \(x:\dfrac{85}{2}=\dfrac{2x}{85}\left(h\right)\)

Thời gian đi là: \(x:\dfrac{75}{2}=\dfrac{2x}{75}\left(h\right)\)

Thời gian về ít hơn thời gian đi 40p nên ta có pt:

\(\dfrac{2x}{75}-\dfrac{2x}{85}=\dfrac{40}{60}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{34x}{1275}-\dfrac{30x}{1275}=\dfrac{850}{1275}\)

\(\Leftrightarrow34x-30x=850\)

\(\Leftrightarrow4x=850\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{425}{2}\left(tm\right)\)

Vậy: .... 

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)

Thời gian đi từ A đến B: x/40 (h)

Thời gian đi từ B về A: x/45 (h)

40 phút = 2/3 h

Theo đề bài ta có phương trình:

x/40 - x/45 = 2/3

9x - 8x = 240

x = 240 (nhận)

Vậy quãng đường AB dài 240 km

Gọi diện tích rừng phải trồng theo kế hoạch là x(ha)

(ĐIều kiện: x>0)

Diện tích rừng trồng được trong thực tế là x+5(ha)

Thời gian dự kiến hoàn thành công việc là \(\dfrac{x}{15}\left(ngày\right)\)

Thời gian thực  tế hoàn thành công việc là \(\dfrac{x+5}{20}\left(ngày\right)\)

Vì công việc hoàn thành trước 1 tuần=7 ngày nên ta có:

\(\dfrac{x}{15}-\dfrac{x+5}{20}=7\)

=>\(\dfrac{4x-3\left(x+5\right)}{60}=7\)

=>4x-3(x+5)=420

=>x-15=420

=>x=435(nhận)

Vậy: Diện tích rừng phải trồng là 435ha

Bài 2:

a; 10\(x\) - 12 = 3\(x\) + 6 + \(x\)

    10\(x\) - 3\(x\) - \(x\) = 12  + 6

        6\(x\)            = 18

          \(x\)             = 18: 6

          \(x\)             = 3

Vậy \(x\) = 3

b; \(\dfrac{x-2}{4}\) - \(\dfrac{x}{12}\) = \(\dfrac{x-1}{6}\) - \(\dfrac{1}{3}\)

    3.(\(x-2\)) - \(x\) = 2.(\(x-1\)) - 4

     3\(x\) - 6  - \(x\)    = 2\(x\) - 2 - 4

    3\(x\) - \(x\) - 2\(x\)   = 6 - 2 - 4

        0 \(\times\) \(x\) = 0 \(\forall\) \(x\)

               vậy  \(x\) \(\in\) R

c; (\(x+1\))(2\(x\) - 3) = (2\(x\) - 1).(\(x+5\))

      2\(x^2\) - 3\(x\) + 2\(x\) - 3 = 2\(x^2\) + 10\(x\) - \(x\) - 5

      2\(x^2\) - 3\(x\) + 2\(x\) - 3 - 2\(x^2\) - 10\(x\) + \(x\) + 5 = 0

     (2\(x^2\) - 2\(x^2\)) + (- 3\(x\) + 2\(x\) - 10\(x\) + \(x\)) + (5 - 3) = 0

              0 -  10\(x\)     + 2 = 0

                   10\(x\)  = 2

                       \(x\)  = \(\dfrac{2}{10}\)

                         \(x=\dfrac{1}{5}\)

       Vậy \(x=\dfrac{1}{5}\)

a: \(A=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x}{1-x^2}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)-2x-x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-3x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{x-1}{x+1}\)

b: |x-1|=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=2\\x-1=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Khi x=3 thì \(A=\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

c: Để A là số nguyên thì \(x-1⋮x+1\)

=>\(x+1-2⋮x+1\)

=>\(-2⋮x+1\)

=>\(x+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(x\in\left\{0;-2;-3\right\}\)

Gọi tử số ban đầu là x

(ĐK: x<>-5)

Mẫu số ban đầu là x+5

Khi tăng cả tử và mẫu thêm 5 đơn vị thì được phân số mới là 2/3 nên ta có:

\(\dfrac{x+5}{x+5+5}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x+5}{x+10}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(3\left(x+5\right)=2\left(x+10\right)\)

=>\(3x+15=2x+20\)

=>3x-2x=20-15

=>x=5(nhận)

mẫu số ban đầu là 5+5=10

vậy: Phân số ban đầu là \(\dfrac{5}{10}\)

Gọi số sách ban đầu ở thư viện thứ nhất là x(quyển)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Số sách ban đầu ở thư viện thứ hai là 20000-x(quyển)

Số sách lúc sau ở thư viện thứ nhất là x-2000(cuốn)

Số sách lúc sau ở thư viện thứ hai là 20000-x+2000=22000-x(cuốn)

Theo đề, ta có phương trình:

x-2000=22000-x

=>2x=24000

=>x=12000(nhận)

Vậy: Thư viện thứ nhất có 12000 cuốn, thư viện thứ hai có 20000-12000=8000 cuốn

Xét ΔPOQ có \(\dfrac{PX}{XO}=\dfrac{PY}{YQ}\left(\dfrac{5}{2}=\dfrac{7.5}{3}\right)\)

nên XY//OQ