ĐK: \(x\ge2000;y\ge2001;z\ge2002\)

Biến đổi pt về dạng: \(\left(\sqrt{x-2000}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2001}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2002}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2000}-1=0\\\sqrt{y-2001}-1=0\\\sqrt{z-2002}-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2001\\y=2002\left(tm\right)\\z=2003\end{cases}}}\)

Sửa lại đề ( đề sai ) 

\(\sqrt{x-2000}+\sqrt{y-2001}+\sqrt{z-2002}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-3000\)

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge2000\\y\ge2001\\z\ge2002\end{cases}}\)

\(\sqrt{x-2000}+\sqrt{y-2001}+\sqrt{z-2002}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-3000\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2000}+\sqrt{y-2001}+\sqrt{z-2002}=\frac{x+y+z-6000}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-2000}+2\sqrt{y-2001}+2\sqrt{z-2002}=x+y+z-6000\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-6000-2\sqrt{x-2000}-2\sqrt{y-2001}-2\sqrt{z-2002}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-2000\right)-2\sqrt{x-2000}+1\right]+\left[\left(y-2001\right)-2\sqrt{y-2001}+1\right]+\left[\left(z-2002\right)-2\sqrt{y-2002}+1\right]=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2000}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2001}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2002}-1\right)^2=0\)(1)

Vì \(\left(\sqrt{x-2000}-1\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{y-2001}-1\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{z-2002}-1\right)^2\ge0\)\(\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-2000}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2001}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2002}-1\right)^2\ge0\)\(\forall x,y,z\)(2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2000}-1=0\\\sqrt{y-2001}-1=0\\\sqrt{z-2002}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2000}=1\\\sqrt{y-2001}=1\\\sqrt{z-2002}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2000=1\\y-2001=1\\z-2002=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2001\\y=2002\\z=2003\end{cases}}\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy \(x=2001\); \(y=2002\)và \(z=2003\)

Rút gọn đi là xong :)

Ta có : \(\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}+1\)

Xong !!!

đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\end{cases}}\)

Ta có: \(\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{x-9}{x-9}=1\)

* n = 0 thì \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=1+1-2=0⋮17\)

* n = 1 thì \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=36+19-4=51⋮17\)

Giả sử khẳng định đúng với n = k tức là \(6^{2k}+19^k-2^{k+1}⋮17\)

Ta chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1

Thật vậy: \(6^{2\left(k+1\right)}+19^{k+1}-2^{k+2}=6^{2k}.36+19^k.19-2^{k+1}.2=2\left(6^{2k}+19^k-2^{k+1}\right)+34.6^{2k}+17.19^k⋮37\)(Do \(6^{2k}+19^k-2^{k+1}⋮17\)theo giả thiết quy nạp)

Vậy \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}⋮17\forall n\inℕ\left(đpcm\right)\)

Không mất tổng quát giả sử \(0< x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\ge\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}>0\) khi đó ta có:

\(2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)

\(\Leftrightarrow2\le\frac{3}{x}\Rightarrow x\le\frac{3}{2}\) mà \(x\inℤ^+\) nên \(x=1\)

Thay vào ta được: \(\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) mà \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{2}{y}\Leftrightarrow y\le2\) mà \(y\inℤ^+\) nên \(y\in\left\{1;2\right\}\)

Nếu y = 1 => \(\frac{1}{z}=0\) (vô lý)

Nếu y = 2 => \(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\Rightarrow z=2\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=z=2\end{cases}}\) và các hoán vị của nó

Vai trò của x, y, z là như nhau nên ta giả sử \(x\ge y\ge z>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}\Rightarrow2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{z}\Rightarrow0< z\le\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow z=1\)(Vì z nguyên)

Do đó \(1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\Rightarrow0< y\le2\)

+) Xét y = 1 thì \(\frac{1}{x}=0\)(vô lí, loại)

+) Xét y = 2 thì \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\)

Vậy (x; y; z) = (2; 2; 1) và các hoán vị

Ta có \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)

=> \(\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{abz-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}\)

                                                                                     \(=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}bz-cy=0\\cx-az=0\\ay-bx=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz=cy\\cx=az\\ay=bx\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{c}{z}=\frac{b}{y}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\\\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)(đpcm)