Sửa đề: \(B=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)

Ta có: \(\frac{x}{1+y^2}=\frac{\left(xy^2+x\right)-xy^2}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)}{1+y^2}-\frac{xy^2}{1+y^2}\)

\(\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\left(Cauchy\right)\)

Tương tự CM được: \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\) ; \(\frac{z}{1+z^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại với nhau ta được:

\(B\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

\(\ge3-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\)

R= Đường ngang vạch như đoạn elip vậy Ta xét R=\(\eta\)

\(x^{12}-x^9+x^4-x+1>0\)\(\Leftrightarrow2x^{12}-2x^9+2x^4-2x+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{12}-2x^9+x^6\right)+\left(x^{12}-x^6+\frac{1}{4}\right)+\left(2x^4-2x^2+\frac{1}{2}\right)+\)\(\left(2x^2-2x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^6-x^3\right)^2+\left(x^6-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

do đó ta có đpcm

\(D=x^{10}-x^9+x^4-x+1>0\)

\(D=x^9\left(x-1\right)+x\left(x^3-1\right)+1\)

Vậy ta xét : \(x\ge1\)\(\Rightarrow\)D Sẽ luôn dương (1)

Xét: \(x< 1\)

\(\Rightarrow\)\(D=x^{10}+x^4\left(1-x^5\right)+\left(1-x\right)\)

ko làm đc

điều kiện xác định \(x,y\ge0\), do vế phải dương nên ta cần điều kiện \(\sqrt{x}>2\sqrt{y}\)để bình phương hai vế.

Bình phương hai vế của PT trên ta được: \(x+4y-4\sqrt{xy}=8-4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x+4y-8=4\sqrt{xy}-4\sqrt{3}\)

Rõ ràng vế trái là số hữu tỉ, trong khi \(4\sqrt 3\) là số vô tỉ , do đó \(\hept{\begin{cases}x+4y-8=0\\4\sqrt{xy}-4\sqrt{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+4y=8\\x.y=3\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=6\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}x+4y-8=0\\4\sqrt{xy}-4\sqrt{3}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+4y=8\\xy=3\end{cases}}}\)

\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=6\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)(Nhận) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}\)(Loại)

\(\frac{x+16}{\sqrt{x+3}}\)có nghĩa khi \(x+3>0\Leftrightarrow x>-3\)

\(\frac{x+16}{\sqrt{x+3}}=\frac{x+3+13}{\sqrt{x+3}}=\frac{\left(\sqrt{x+3}\right)^2+13}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{x+3}+\frac{13}{\sqrt{x+3}}\)

áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương \(\sqrt{x+3}\)và \(\frac{13}{\sqrt{x+3}}\), ta được:

\(\sqrt{x+3}+\frac{13}{\sqrt{x+3}}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x+3}\right).\frac{13}{\sqrt{x+3}}}=2\sqrt{13}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x+3}=\frac{13}{\sqrt{x+3}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}\right)^2=13\Leftrightarrow x+3=13\)(vì \(\sqrt{x+3}>0\), do \(x>-3\) )

Vậy x = 10.

Kết luận: GTNN của biếu thức là \(2\sqrt{13}\)khi chỉ khi x = 10

à, đoạn x = 10 phải ghi thêm vào là "(tmdk)"

bạn bổ sung vào bài làm của mình giúp mình nhé, :D