cho số tự nhiên \(\overline{xyz}\)là số nguyên tố. chứng minh rằng y2 - 4xz không là số chính phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TN
0
KN
26 tháng 11 2020
Ta có: \(4\left(x^2-x+1\right)\le16\sqrt{x^2yz}-3x\left(y+z\right)^2\le16x.\frac{y+z}{2}-3x\left(y+z\right)^2=8x\left(y+z\right)-3x\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow4\left(x+\frac{1}{x}\right)-4\le8\left(y+z\right)-3\left(y+z\right)^2\)
Mà \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(Cauchy\right)\)nên \(8\left(y+z\right)-3\left(y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le y+z\le2\)
Có\(2\ge y+z\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow yz\le1\)
\(P=\frac{y^2+3xy\left(x+1\right)}{x^2.yz}+\frac{16}{\left(y+1\right)^3}-10\sqrt{\frac{3y}{x^3+1+1}}\)\(\ge\frac{y^2+3xy\left(x+1\right)}{x^2}+\frac{16}{\left(y+1\right)^3}-10\sqrt{\frac{y}{x}}=\left(\frac{y}{x}\right)^2+3\left(\frac{y}{x}\right)\)\(-10\sqrt{\frac{y}{x}}+3y+\frac{16}{\left(y+1\right)^3}=\left(\frac{y}{x}\right)^2+3\left(\frac{y}{x}\right)-10\sqrt{\frac{y}{x}}+6+\left(y+1\right)+\left(y+1\right)+\left(y+1\right)+\frac{16}{\left(y+1\right)^3}-9\)\(\ge\left(\sqrt{\frac{y}{x}}-1\right)^2\left(\frac{y}{x}+2\sqrt{\frac{y}{x}}+6\right)+4\sqrt[4]{\frac{16\left(y+1\right)^3}{\left(y+1\right)^3}}-9\ge-1\)
Vậy MinP = -1 khi x = y = z = 1
