202100

2021*13,7+202,1*863

= 2021 * 13,7 + 2021 * 86,3

= 2021 * ( 13,7 + 86,3 )

= 2021 * 100

= 202 100

Áp dụng 7 hằng đẳng thức nhé

\(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\left(x^2-1\right)\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(\left(x^2-1\right)\left(x^4+2x^2+1\right)\)

\(x^6-x^4+2x^4-2x^2+x^2-1\)

\(x^6+x^4-x^2-1\)

a) \(2xy-y^2-6x+4y=7\)

\(\Leftrightarrow2xy-6x-y^2+3y+y-3=4\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y+1\right)\left(y-3\right)=4\)

Tới đây bạn xét bảng giá trị thu được nghiệm \(\left(x,y\right)\).

b) \(x^2+y^2-x⋮xy\Rightarrow x^2+y^2-x⋮x\Rightarrow y^2⋮x\).

Đặt \(y^2=kx,\left(k\inℤ\right),d=\left(x,k\right)\).

\(x^2+\left(kx\right)^2-x⋮xy\Rightarrow x+k^2x-1⋮y\).

suy ra \(x+k^2x-1⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó \(kx=y^2\)mà \(\left(k,x\right)=1\)nên \(x\)là số chính phương. 

(x + 1) (x2 - x + 1) - (x -1) (x2 + x + 1)

= x³ + 1 -  (x³ - 1) ( áp dụng hằng đẳng thức số 6 và 7 )

= x³ + 1 - x³ + 1 

= 2

b) <=> 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ac

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac ≥ 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ac + a² ) ≥ 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy ta có đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c 

c) a,b,c là ba cạnh của một tam giác => a,b,c > 0

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\ge\left(a+b+c\right)\cdot\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c <=> tam giác đều