Trong các danh hai mà em yêu thích Chí Tài là người mà e yêu thik  nhất

ông chết rồi tả

 cái đéo gì

??? la sao

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\left(1\right)\\x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}=3^{2004}\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) ta có: \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\); \(\left(y-z\right)^2\ge0\); \(\left(x-z\right)^2\ge0\)\(\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)\(\forall x,y,z\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)

Thay \(x=y=z\)vào (2) ta được: 

\(3.x^{2003}=3^{2004}\)\(\Rightarrow x^{2003}=3^{2003}\)\(\Rightarrow x=3\)\(\Rightarrow x=y=z=3\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là \(x=y=z=3\)

Ta có: \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=8\)

Đặt \(c=x+y,a=y+z,b=z+x\Rightarrow abc=8\Rightarrow a,b,c\in\left\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\right\}\)

giả \(x\le y\le z\Rightarrow c\le b\le a\).

Lại có: \(a+b+c=2\left(x+y+z\right)=6\Rightarrow a\ge2\)

- Với a=2 ta có: \(\hept{\begin{cases}b+c=4\\bc=4\end{cases}\Rightarrow b=c=2\Rightarrow x=y=z=1}\)

- Với a=4 ta có: \(\hept{\begin{cases}b+c=2\\bc=2\end{cases}}\)( ko có nghiệm nguyên)

- Với a=8 ta có: \(\hept{\begin{cases}b+c=-2\\bc=1\end{cases}\Rightarrow b=c=-1\Rightarrow x=-5,y=z=4}\)

Vậy hệ pt có 4 nghiệm: \(\left(1;1;1\right),\left(4;4;-5\right),\left(4;-5;4\right),\left(-5;4;4\right)\)

\(ĐK:x,y,z>\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{3y}{2}+\frac{y+2x}{2}\right)^2\ge4.\frac{3y}{2}.\frac{y+2x}{2}=3y\left(2x+y\right)\)\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{x+2y}{3xy}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Tương tự: \(\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\); \(\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(VT\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1