a, 1-2+3-4+...+99-100

= (1-2)+(3-4)+...+(99-100)

= -1 + (-1) +...+ (-1)

= -1 x 50

= -50

b, 1+2-3-4+5+6-...+97+98-99-100

= (1+2-3-4) + (5+6-7-8) + ... + (97+98-99-100)

= -4 +( -4) + .... + (-4)

= -4 x 25

= -100

Gọi tọa độ điểm MM, NN lần lượt là M(x1;y1), N(x2;y2)M(x1;y1), N(x2;y2).

Hệ số góc tiếp tuyến của (C)(C) tại MM và NN lần lượt là

k1=y′(x1)=−3x12+6x1−1k1=y′(x1)=−3x12+6x1−1; k2=y′(x2)=−3x22+6x2−1k2=y′(x2)=−3x22+6x2−1

Để tiếp tuyến của (C)(C) tại MM và NN luôn song song với nhau điều kiện là

{k1=k2x1≠x2{k1=k2x1≠x2 ⇔{(x1−x2)[−3(x1+x2)+6]=0x1≠x2⇔{(x1−x2)[−3(x1+x2)+6]=0x1≠x2⇔x1+x2=2⇔x1+x2=2.

Ta có:y1+y2=−(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]+3[(x1+x2)2−2x1x2]−(x1+x2)+8y1+y2=−(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]+3[(x1+x2)2−2x1x2]−(x1+x2)+8

Do x1+x2=2x1+x2=2 nên y1+y2=−2(4−3x1x2)+3(4−2x1x2)+8=10y1+y2=−2(4−3x1x2)+3(4−2x1x2)+8=10.

Trung điểm của đoạn MNMN là I(1;5)I(1;5). Vậy đường thẳng MNMN luôn đi qua điểm cố định I(1;5)I(1;5).

Ta có \(y'=-3x^2+6x-1\Rightarrow y^n=-6x+6;y^n=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow I\left(1;5\right)\) là điểm uốn của đồ thị (C)

G/s M (x_M;y_M); N(x_N;y_N) là 2 điểm di động trên (C)

Tiếp tuyển của (C) tại M,N song song với nhau

=> y'(x_M)=y'(x_N)

\(\Leftrightarrow-3x^2_M+6x_M-1=-3x_N^2+6x_N-1\)

\(\Leftrightarrow-3\left(x_M-x_N\right)\left(x_N+x_M\right)+6\left(x_M-x_N\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_M+x_N}{2}=1\left(x_M\ne x_N\right)\)=> I là trung điểm MN

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm I cố định

em gửi hình ảnh

y′=(2x+3)2−1​.

Đường thẳng y = ax+by=ax+b là tiếp tuyến của đường cong (C)(C) khi hệ phương trình sau có nghiệm:

\left\{\begin{aligned} &\dfrac{x+2}{2x+3} = ax+b\\ &a = \dfrac{-1}{(2x+3)^2} (1)\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​2x+3x+2​=ax+ba=(2x+3)2−1​(1)​

Mà tiếp tuyến của (C)(C) cắt trục hoành tại AA, cắt trục tung tại BB sao cho AOBAOB là tam giác vuông cân tại OO nên a = -1a=−1 và b \ne 0 (2).b​=0(2).

Từ (1)(1) và (2)(2) suy ra \left[\begin{aligned} &2x+3=1\\ &2x+3=-1\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1\\ &x = -2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &b = 0 (l)\\ &b = -2 (tm) \end{aligned}\right. \Rightarrow a+b = -3.[​2x+3=12x+3=−1​⇔[​x=−1x=−2​⇔[​b=0(l)b=−2(tm)​⇒a+b=−3.

Cho hàm số y=f(x)y=f(x)có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C), phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(a,f(a)),(a∈K)M(a,f(a)),(a∈K) là:

y=f′(a)(x−a)+f(a).

 . 

y=-x-3

y=-6x-3

Gọi N(x_0;y_0)N(x0​;y0​) là tiếp điểm của tiếp tuyến đã cho.

Phương trình tiếp tuyến dd có dạng: y = (4x_0^3+2x_0)(x-x_0)+x_0^4+x_0^2+1y=(4x03​+2x0​)(x−x0​)+x04​+x02​+1.

M \in dM∈d nên 3 = (4x_0^3+2x_0)(-1-x_0)+x_0^4+x_0^2+1 \Leftrightarrow 3x_0^4+4x_0^3+x_0^2+2x_0+2=03=(4x03​+2x0​)(−1−x0​)+x04​+x02​+1⇔3x04​+4x03​+x02​+2x0​+2=0

\Leftrightarrow (x_0+1)^2(3x_0^2-2x_0+2) = 0 \Leftrightarrow x_0 = -1 \Rightarrow y_0 = 3⇔(x0​+1)2(3x02​−2x0​+2)=0⇔x0​=−1⇒y0​=3 và y'(x_0)=-6y′(x0​)=−6.

Phương trình tiếp tuyến là y = -6x-3.y=−6x−3.

Xét tiếp tuyênd với (C) tại điểm có hoành độ x₀ bất kì trên (C) 

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là: y'=-x²₀-4x₀-3=1-(x₀+2) =< 1 với mọi x

k=1

X=1 hoặc x=-1

TXĐ : R 

y' =3x² - 3 

tiếp tuyến d song song với ox nếu hệ số góc bằng 0 nên ta có phương trình 0 = 3x² -3 => x = 1 hoặc x= -1

ko biết

xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm
xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1(1−m2)x5−3x−1
f(x)liên tục trên R nên f(x) lt trên [-1,0]
f(-1)=m2+1m2+1>0
f(0)=-1
f(-1)*f(0)<0 suyra ( đpcm ) .