a: \(BM=\dfrac{1}{4}BC\)

\(BN=\dfrac{1}{2}BC\)(N là trung điểm của BC)

Do đó: BN=2BM

=>M là trung điểm của BN

=>MB=MN

Xét ΔMBE và ΔMNA có

MB=MN

\(\widehat{BME}=\widehat{NMA}\)(hai góc đối đỉnh)

ME=MA

Do đó: ΔMBE=ΔMNA

=>\(\widehat{MBE}=\widehat{MNA}\)

=>BE//NA

Xét ΔMAB và ΔMEN có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMN}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MN

Do đó: ΔMAB=ΔMEN

=>AB=EN

1

\(\dfrac{3^{10}.15^5}{25^3.9^7}\)

\(=\dfrac{3^{10}.3^55^5}{\left(5^2\right)^3.\left(3^2\right)^7}\)

\(=\dfrac{3^{15}.5^5}{5^6.3^{14}}\)

\(=\dfrac{3.1}{5.1}\)

\(=\dfrac{3}{5}\)

Bạn bấm vào biểu tượng  để nhập các công thức toán học cho rõ ràng nhé!

Vd:\(3^{10}\) 

\(\dfrac{3^{10}\cdot15^5}{25^3\cdot9^7}=\dfrac{3^{10}\cdot\left(3\cdot5\right)^5}{\left(5^2\right)^3\cdot\left(3^2\right)^7}=\dfrac{3^{10}\cdot3^5\cdot5^5}{5^6\cdot3^{14}}\)

\(=\dfrac{3^{15}}{5\cdot3^{14}}=\dfrac{3}{5}\)

a/

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow 5(x+y)=xy$

$\Rightarrow 5x+5y-xy=0$

$\Rightarrow x(5-y)+5y=0$

$\Rightarrow x(5-y)-5(5-y)=-25$

$\Rightarrow (x-5)(5-y)=-25$

$\Rightarrow (x-5)(y-5)=25$

Do $x,y$ nguyên nên $x-5,y-5$ nguyên. Mà tích $(x-5)(y-5)=25$ nên xảy ra các TH sau đây:

TH1: $x-5=1, y-5=25\Rightarrow x=6; y=30$

TH2: $x-5=-1, y-5=-25\Rightarrow x=4; y=-20$

TH3: $x-5=25, y-5=1\Rightarrow x=30; y=6$

TH4: $x-5=-25, y-5=-1\Rightarrow x=-20; y=4$

TH5: $x-5=5, y-5=5\Rightarrow x=10; y=10$

TH6: $x-5=-5, y-5=-5\Rightarrow x=0; y=0$

b/

$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3$

$\Rightarrow \frac{x+2y}{xy}=3$

$\Rightarrow x+2y=3xy$

$\Rightarrow 3xy-x-2y=0$

$\Rightarrow x(3y-1)-2y=0$

$\Rightarrow 3x(3y-1)-6y=0$

$\Rightarrow 3x(3y-1)-2(3y-1)=2$

$\Rightarrow (3x-2)(3y-1)=2$

Do $x,y$ nguyên nên $3x-2, 3y-1$ cũng là số nguyên. Mà tích của chúng bằng 2 nên ta xét các TH sau:

TH1: $3x-2=1, 3y-1=2\Rightarrow x=y=1$

TH2: $3x-2=2, 3y-1=1\Rightarrow x=\frac{4}{3}$ (loại) 

TH3: $3x-2=-1, 3y-1=-2\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ (loại)

TH4: $3x-2=-2, 3y-1=-1\Rightarrow x=y=0$ (loại do $x,y\neq 0$)

Vậy $x=y=1$

Gọi số hạng thứ nhất là a thì số hạng thứ hai là \(\dfrac{2}{5}\cdot a\), số hạng thứ ba là \(\dfrac{2}{5}\cdot a+\dfrac{7}{4}\), số hạng thứ tư là \(\dfrac{1}{5}\cdot a\).

Khi đó, ta được:

\(a+\dfrac{2}{5}\cdot a+\dfrac{2}{5}\cdot a+\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{5}\cdot a=\dfrac{57}{4}\\ \Leftrightarrow2a+\dfrac{7}{4}=\dfrac{57}{4}\\ \Leftrightarrow2a=\dfrac{50}{4}\\ \Leftrightarrow a=\dfrac{25}{4}\)

Vậy số hạng thứ nhất là \(\dfrac{25}{4}\), số hạng thứ hai là \(\dfrac{5}{2}\), số hạng thứ ba là \(\dfrac{17}{4}\), số hạng thứ tư là \(\dfrac{5}{4}\).

Ta được: \(14\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{17}{4}+\dfrac{5}{4}\)

Gọi 17 số đó là \(a_1,a_2,...,a_{17}\left(a_i\inℚ,i=\overline{1,17}\right)\)

Theo đề bài, ta có:

\(a_1=a_2^3+a_3^3+a_4^3+...+a_{17}^3\)

\(a_2=a_1^3+a_3^3+a_4^3+...+a_{17}^3\)

Trừ theo vế 2 hệ thức này, ta được:

\(a_1-a_2=a_2^3-a_1^3\)

\(\Leftrightarrow a_1-a_2+a_1^3-a_2^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a_1-a_2\right)\left[\left(a_1-a_2\right)^2+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a_1=a_2\\\left(a_1-a_2\right)^2+1=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Như vậy ta có \(a_1=a_2\)

Chứng minh tương tự, ta thu được \(a_1=a_2=...=a_{17}\)

Thế vào hệ thức đầu tiên trong 2 hệ thức trên, ta có:

 \(a_1=17a_1^3\) 

\(\Leftrightarrow a_1\left(17a_1^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a_1=0\\a_1=\dfrac{\sqrt{17}}{17}\left(loạivìa_1\inℚ\right)\end{matrix}\right.\)

 Vậy \(\left(a_1,a_2,...,a_{17}\right)=\left(0,0,...,0\right)\) là bộ 17 số duy nhất thỏa mãn ycbt.

\(\dfrac{x-2y}{z-y}=-5\Rightarrow\dfrac{x-2y}{y-z}=5\\ \Rightarrow x-2y=5\left(y-z\right)\\ \Rightarrow x-2y=5y-5z\\ \Rightarrow x+5z=7y\)

Ta có: 

\(\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{x-2z}{y-z}=\dfrac{x-2z}{7\left(y-z\right)}=\dfrac{x-2z}{7y-7z}\\ =\dfrac{x-2z}{x+5z-7z}=\dfrac{x-2z}{x-2z}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{x-2z}{y-z}=1:\dfrac{1}{7}=7\)

1) \(x^2-4=x^2-2^2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

2) \(1-4x^2=1-\left(2x\right)^2=\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)\)

3) \(4x^2-9=\left(2x\right)^2-3^2=\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\)

4) \(9-25x^2=3^2-\left(5x\right)^2=\left(3-5x\right)\left(3+5x\right)\)

5) \(4x^2-25=\left(2x\right)^2-5^2=\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)\)

6) \(9x^2-36=\left(3x\right)^2-6^2=\left(3x-6\right)\left(3x+6\right)\)

7) \(\left(3x\right)^2-y^2=\left(3x+y\right)\left(3x-y\right)\)

8) \(x^2-\left(2y\right)^2=\left(x+2y\right)\left(x-2y\right)\)

9) \(\left(2x\right)^2-y^2=\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)\)