Đổi: \(20'=\frac{1}{3}h\).

Khi nhân viên bắt đầu đi thì đoàn khách đã đi được: \(15\times\frac{1}{3}=5\left(km\right)\)

Mỗi giờ lễ tân đi nhanh hơn đoàn khách: \(45-15=30\left(km\right)\)

Để đuổi kịp nhân viên hết: \(5\div30=\frac{1}{6}\left(h\right)\)

Đổi: \(\frac{1}{6}h=10'\).

Nhân viên đuổi kịp đoàn khách lúc: \(6h45'+20'+10'=7h15'\).

Ta có: 

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c},\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\).

Cộng lại vế theo vế ta được: 

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}}\Rightarrow a+b+c=0\)do đó không xảy ra dấu \(=\).

\(x^2-xy+y^2=\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\sqrt{x^2-xz+z^2}=\frac{1}{2}\left(x+z\right)\)

Suy ra \(\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x^2-xz+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(2x+y+z\right)=1\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\).

Bài 1: 

\(a^2\left(b-2c\right)+b^2\left(c-a\right)+2c^2\left(a-b\right)+abc\)

\(=2c^2\left(a-b\right)+a^2b-ab^2+b^2c-a^2c+abc-a^2c\)

\(=2c^2\left(a-b\right)+ab\left(a-b\right)-c\left(a+b\right)\left(a-b\right)-ac\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(2c^2+ab-ac-cb-ac\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-2c\right)\)

Bài 2: 

\(x^2+3x+1=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=-3\)(vì \(x=0\)không là nghiệm) 

Ta có: 

\(x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right).x.\frac{1}{x}=-3^3-3.\left(-3\right)=-18\)

\(x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2=\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right]^2-2=47\)

\(\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=x^7+\frac{1}{x^7}+x+\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^7+\frac{1}{x^7}=\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-18.47-\left(-3\right)=-843\)

a, Với  \(x\ge0;x\ne1\)

\(P=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{2\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x-1}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}\pm1\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{x+\sqrt{x}+1+x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\frac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

Chúc anh/chị học tốt

Bài 4: (3,0đ) Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB của (O; R) và góc AMB nhọn ( với A,B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O; R) tại N ( khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB và MA theo thứ tự tại I và K ( khác A).1. Chứng minh: tứ giác NHBI nội tiếp.2. Chứng minh: tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK.3. Gọi C là giao điểm của NB và HI, D là giao điểm của NA và KI. Đường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA.