a) Gọi K là giao điểm của EI và DM

Xét ΔEKDΔEKDvà ΔEKMΔEKMcó :

ˆE1=ˆE2E^1=E^2( vì EI là tia phân giác )

EIEI: Cạnh chung

ˆEKD=ˆEKM=90oEKD^=EKM^=90o( GT)

Do đó : Tam giác vuông EKM = Tam giác vuông EKM 

⇒ED=EM⇒ED=EM( cặp cạnh tương ứng )

b) 

Xét ΔEDIΔEDIvà ΔEMIΔEMIcó :

ED=EMED=EM( câu a )

ˆE1=ˆE2E^1=E2^( vì phân giác )

EI:EI:Cạnh chung

Do đó : Tam giác EMI = tam giác EDI (c.g.c )

⇒ˆEDI=ˆEMI⇒EDI^=EMI^( cặp góc tương ứng )

Mà ˆEDI=90oEDI^=90o

⇒ˆEMI=90o⇒EMI^=90o

⇒ΔEMI⇒ΔEMIlà tam giác vuông ( đpcm)

c) 

Vì ˆEMI=90oEMI^=90o( câu b )

⇒ˆIMF=90o⇒IMF^=90o

Xét tam giác IMF   ta có :

ˆIMF=90IMF^=90

=> IF là cạnh lớn nhất   ( cạnh đối diện với góc vuông )

⇒IF>IM⇒IF>IM

Mà IM=IDIM=ID( Vì tam giác EDI = tam giác EMI )

⇒IF>ID⇒IF>ID

c ) Áp dụng t/c đường đồng quy .

Ta có: \(x=7\Rightarrow x+1=8\)

\(B=x^{15}-8x^{14}+...+-8x^2+8x-5\)

\(=x^{15}-\left(x+1\right).x^{14}+...+-\left(x-1\right).x^2+\left(x-1\right).x-5\)

\(=x^{15}-x^{15}-x^{14}+...-x^3-x^2+x^2+x-5\)

\(=\left(x^{15}-x^{15}\right)+...+\left(-x^2+x^2\right)+x-5\)

\(=x-5=7-5=2\)

\(\left(x^2+2x\right)^2-2x^2-4x=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-2\left(x^2+2x\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-3\left(x^2+2x\right)+\left(x^2+2x\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2+2x\right)-3\right]\left[\left(x^2+2x\right)+1\right]=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+2x-3=0\\x^2+2x+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\text{ hoặc }x=-3\\x=-1\end{cases}}\)

a) \(2x\left(x^2y-\frac{1}{2}xy^2\right)=2x.x^2y-2x.\frac{1}{2}xy^2=2x^3y-x^2y^2\)

b) \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x+14\right)=x\left(x^2-2x+14\right)+2\left(x^2-2x+14\right)\)

\(=x^3-2x^2+14x+2x^2-4x+28=x^3+10x+28\)

c) \(x\left(x+5\right)+\left(2x-1\right)^2=x^2+5x+\left(2x\right)^2-2.2x.1+1^2\)

\(=x^2+5x+4x^2-4x+1=\left(x^2+4x^2\right)+\left(5x-4x\right)+1=5x^2+x+1\)

Kẻ BH // với AC

Ta có :

AB=BD

AH//AC

=>BH là đường trung bình của tam giác ADK

=> BH =1/2 AK

Xét ΔBHM và ΔKMC có :

KMC^ = BMH^ (đối đỉnh)

CM=MB

ˆMBH=ˆCKM ( so le trong )

=> ΔBHM và ΔKMC (g-c-g)

=> KC=BH = 1/2 AK

Hay AK= 2 KC

Kẻ \(BH\text{//}AC\), ta có :

\(AB=BD\)

\(AH\text{//}AC\)

\(\Rightarrow BH\) là đường trung bình của  \(\bigtriangleup ADK\)

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AK\)

Xét \(\bigtriangleup BHM\) và \(\bigtriangleup KMC\) có

\(\widehat{KMC}=\widehat{BMH}\) (đđ)

\(CM=MC\)

\(\widehat{MBH}=\widehat{CKM}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\bigtriangleup BHM\) và \(\bigtriangleup KMC\) (g.c.g)

\(\Rightarrow KC=BH=\frac{1}{2}AK\) hay \(AK=2KC\)