ta có

\(4a^2-4b^2-\frac{3a}{b}-\frac{2b}{a}+8a+12b=4\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\frac{a\left(a+b\right)}{b}-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+8a+12b\)

\(\le4a-4b-\frac{a^2}{b}-2.2+7a+12b=-\frac{a^2}{b}-b+11a+9b-4\le-2a+11a+9b-4\le9-4=5\)dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

đề lớp 10 phải không  cậu học trường nào 

Ta có: \(4a^2-4b^2-\frac{3a}{b}-\frac{2b}{a}+8a+12b=4\left(a^2-b^2\right)-\frac{a}{b}-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+8a+12b\)

\(=4\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\frac{a}{b}-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+8a+12b\)

\(\le4\left(a-b\right)-\frac{a}{b}-2\times2+8a+12b\)

\(\le4\left(a-b\right)-\frac{a\left(a+b\right)}{b}+8a+12b-4\)

\(=4a-4b-\frac{a^2}{b}-a+8a+12b-4\)

\(=11a+9b-4-\left(\frac{a^2}{b}+b\right)\)

\(\le11a+9a-4-2a\)

\(=9\left(a+b\right)-4\)

\(=5\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0,5

BC=a; AC=b; AB=c

Từ C dựng đường thẳng vuông góc với AB tại H

\(\frac{a}{bc}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b-c}.\)

\(\Rightarrow a\left(a+b-c\right)+c\left(a+b-c\right)=b\left(a+b-c\right)+bc\)

\(\Rightarrow a^2+ab-ac+ac+bc-c^2=ab+b^2-bc+bc\)

\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2+bc=0\) (*)

Ta có \(AB=c=AH+BH\Rightarrow c^2=AH^2+BH^2+2.AH.BH\) (**)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AC^2-CH^2=b^2-CH^2\)

Xét tg vuông BCH có

\(BH^2=BC^2-CH^2=a^2-CH^2\)

Thay giá trị của \(AH^2\) và  \(BH^2\) vào (**) ta có

\(c^2=b^2-CH^2+a^2-CH^2+2.AH.BH=b^2+a^2-2.CH^2+2.AH.BH\) Thay vào (*) ta có

\(a^2-b^2-\left(b^2+a^2-2.CH^2+2.AH.BH\right)+bc=0\)

\(\Rightarrow-2.b^2+2.CH^2-2.AH.BH+bc=0\)

\(\Rightarrow-2\left(b^2-CH^2\right)-2.AH.BH+bc=0\)

\(\Rightarrow-2.AH^2-2.AH.BH+bc=0\)

\(\Rightarrow bc=2.AH\left(AH+BH\right)=2.AH.AB=2.AH.c\Rightarrow b=AC=2.AH\)

Xét tg vuông ACH có

\(\cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{2.AH}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{A}=60^o\left(dpcm\right)\)

ta có \(a^2=\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}\Leftrightarrow a^2\left(b+c\right)-a^3=b^3+c^3-a^3\Leftrightarrow a^2=\frac{b^3+c^3}{b+3}\)

hay \(a^2=b^2-bc+c^2\)

mà theo địnkh lý cosin trong tam giác ta có \(a^2=b^2-2.bc.cos\left(A\right)+c^2\Rightarrow cos\left(A\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)

ta có \(a=2b.cos\left(C\right)=2b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\Leftrightarrow a^2=a^2+b^2-c^2\Leftrightarrow b=c\)

vì vậy ABC cân tại A mà lại có A=60 độ nên ABC đều

gọi độ dài từ A đến B là s ( km ) , vận tốc thực của cano là v , vtoc của dòng nước là v1
- Nếu cano đi xuôi : t1 = s/ (v + v1) (3)
- Nếu cano đi ngược : t2 = s/ ( v-v1) =10  (1)
- Nếu cano đi theo dòng nước : t3 = s/v1=20    (2)

(1), (2) có v=3v1 . Thay vào (3) có t1 = s/ 4v1 = 20 *1/4 =5h

Chọn C 
 

\(\hept{\begin{cases}xy\left(4xy+y+4\right)=y^2\left(2y+5\right)-1\\2xy\left(x-2y\right)+x-14y=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy+1\right)^2+y^2\left(x-2y\right)=5y^2\left(1\right)\\\left(x-2y\right)\left(2xy+1\right)=12y\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét: y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình

Xét: \(y\ne0\) chia hai vế phương trình (1) cho \(y^2\); chia hai vế phương trình (2) cho y được

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(x-2y\right)=5\\\left(x-2y\right)\left(2x+\frac{1}{y}\right)=12\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=2x+\frac{1}{y}\\b=x-2y\end{cases}}\) có hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b=5\\ab=12\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}}}\) hay \(\hept{\begin{cases}2x+\frac{1}{y}=-3\\x-2y=-4\end{cases}}\)

Giải hệ phương trình (tự làm nốt) được nghiệm \(\left(-2;1\right)\) và \(\left(-\frac{7}{2};\frac{1}{4}\right)\)