Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+2m-7=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x_1^2+x_2^2+x_1x_2$.

Cho phương trình $x^2-2(m+1 )x+4m-m^2=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$ sao cho biểu thức $A=| x_1-x_2 |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình $x^2+2mx-2m-1=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,\, x_2$ sao cho $P=\dfrac{2x_1x_2+1}{x_1^2-2mx_2+1-2m}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình $x^2-(2m+5 )x+2m+1=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$ mà biểu thức $M=| \sqrt{x_1}-\sqrt{x_2} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình $x^{2}-2(m-1) x+m^{2}-3=0$ (1) (với $x$ là ẩn số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) có nghiệm $x_{1} ; \, x_{2}$ sao cho biểu thức $F=x_1^2+x_2^{2}+x_{1}+x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình $(m^{2}+m+1) x^2-(m^{2}+2 m+2) x-1=0$ (1) ($m$ là tham số). Giả sử $x_{1}$ và $x_{2}$ là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $S=x_{1}+x_{2}$.

Cho phương trình $x^2-2(m+1)x + m^2 - 1 = 0$ (1) ($x$ là ẩn số, $m$ là tham số). Xác định các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,$ $x_2$ sao cho biểu thức $M = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - m + 3 = 0$ (1), trong đó $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$; $x_2$ và biểu thức $P = x_1 x_2 - x_1 - x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với các hệ số $a,\, b, \, c$ là số nguyên và nhận $x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{3}$ làm nghiệm. Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình đó.

Cho phương trình $x^2-2(m-1)x-m-3=0$. Tìm $m$ để biểu thức $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.