Xét tam giác $ABC$ có $BC\perp A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{B}^{\prime }$ nên suy ra $BC$ // $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{A{B}^{\prime }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{B{C}^{\prime }}$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+h}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{a^{\prime }}$

$a^{\prime }.x=a(x+h)$

$a^{\prime }.x-ax=ah$

$x(a^{\prime }-a)=ah$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{ah}{a^{\prime }-a}$.

Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DN}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{CQ}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{PQ}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

Suy ra $NQ$ // $CD$

Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DN}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CQ}{CB}$ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{PQ}{AB}hay$MN = PQ$ (đpcm).

Lấy $D$ là trung điểm của cạnh $BC$

Khi đó, $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên điểm $G$ nằm trên cạnh $AD$.

TA CÓ AG/AD=2/3 HAY AG=2/3AD
VÌ MG//AB THEO ĐL THL SUY RA AG/AD=BM/BD=2/3
TA CÓ BD=CD ( VÌ D LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC) NÊN BM/BC = BM/2BD = 1/3
VVAVÂVẬVẬYVẬY BMBM = 1/3 BC

VÌ ABCD LÀ HTHANG NÊN AB//CD
ÁP DỤNG HỆ QUẢ ĐL THL TA CÓ OA/OC=OB/OD
SUY RA OA.OD=OB.OC

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:
DE//AC NÊN AE/AB = CD/BC
DF//AC NÊN À/AC=BD/BC
 KHI ĐÓ AE/AB + AF/AC = CD/BC + BD/BC = BC/BC = 1