Không mất tính tổng quát, giả sử a≤0

- Vì abc>0 nên a<0 và bc<0

Có: ab+bc+ca>0⇔a(b+c)>−bc⇒a(b+c)>0⇒b+c<0⇒a+b+c<0 (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy cả ba số \(a\), \(b\) và \(c\) đều dương.

Giả sử x+y+xy=-1

Ta có:

x+y+xy+1=0

(x+1)+y(x+1)=0

(x+1)(y+1)=0

Th1: x=-1=> mẫu thuẫn giả thiết

Th2: y=-1=> mâu thuẫn giả thiết

Vậy  nếu \(x \neq - 1\) và \(y \neq - 1\) thì \(x + y + x y \neq - 1\).

Xét tam giác ABC không phải là tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, giả sử A≥B≥C và A,B và C đều không nhỏ hơn 60

Ta có: C≥ 60∘. Khi đó: A+B+C≥ 180∘.

Dấu "=" không thể xảy ra vì khi đó A=B=C= 60∘

Vì vậy A+B+C> 180 độ=> vô lý.

Vậy nếu một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhỏ hơn \(6 0^{\circ}\)

\(\frac{ax+by}{2}\) ≥\(\frac{a+b}{2}\times\frac{x+y}{2}\)

\(\frac{ax+by}{2}\) ≥\(\frac{\left(a+b\right)\left(x+y\right)}{2^{2^{^{}}}}\)

ax+by≥ ay+bx

a(x-y)≥ b(x-y)

Vì  \(x \geq y\) nên x-y≥0.

Th1: x-y=0

a(x-y)= b(x-y) (Thỏa mãn dấu "=")

Th2: x-y>0

a(x-y)≥ b(x-y)

a≥b (Thỏa mãn giả thiết)

Vậy nếu \(a \geq b\), \(x \geq y\) thì \(\frac{a x + b y}{2} \geq \&\text{nbsp}; \frac{a + b}{2} . \&\text{nbsp}; \frac{x + \&\text{nbsp}; y}{2}\).

Ta có \(4 x^{2} + 4 y^{2} + 6 x + 3 \geq 4 x y\)

\(\Leftrightarrow \left(\right. x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} \left.\right) + 3 \left(\right. x^{2} + 2 x + 1 \left.\right) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \&\text{nbsp}; \left(\right. x - 2 y \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. x \&\text{nbsp}; + 1 \left.\right)^{2} \geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x\), \(y\)).

Vậy với mọi \(x\), \(y\) ta có \(4 x^{2} + 4 y^{2} + 6 x + 3 \geq 4 x y\).

Vì n lẻ nên n có dạng n=2k+1 (k thuộc N và k chẵn). Do đó n^3= (2k+1)^3=8k^3+3x4k^2+12+1=8k^3+ 12k^2+13.

Th1: k lẻ suy ra 8k^3 lẻ và 12k^2 lẻ. Vì vậy n^3 lẻ

Th2: k chẵn suy ra 8k^3 chẵn và 12k^2 chẵn. Do đó n^3 lẻ

Vậy nếu n là số tự nhiên lẻ thì n^3 lẻ

Vì n lẻ nên n có dạng n=2k+1 (k thuộc N và k chẵn). Do đó n^3= (2k+1)^3=8k^3+3x4k^2+12+1=8k^3+ 12k^2+13.

Th1: k lẻ suy ra 8k^3 lẻ và 12k^2 lẻ. Vì vậy n^3 lẻ

Th2: k chẵn suy ra 8k^3 chẵn và 12k^2 chẵn. Do đó n^3 lẻ

Vậy nếu n là số tự nhiên lẻ thì n^3 lẻ

Vì n là số tự nhiên nên n và n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp. Do đó n(n+1) chia hết cho 2. Mặt khác, n chia hết cho 3 mà 3 và 2 nguyên tố cùng nhau nên n(n+1) chia hết cho 6