a) Khá dễ, chỉ cần để ý rằng \(\hat{EDB}=\hat{EKB}=90^{o}\) nên 4 điểm B, D, E, K cùng thuộc đường tròn đường kính EB.

b) Trong đường tròn (O), có \(\hat{AEC}=\hat{ABC}\) vì cùng là góc nội tiếp chắn cung AC.

Mà tứ giác BDEK nội tiếp (câu a)) nên suy ra \(\hat{ABC}=\hat{KEA}\) (góc ngoài bằng góc trong đối diện)

Từ đó suy ra \(\hat{AEC}=\hat{KEA}\) , suy ra EA là tia phân giác của \(\hat{CEK}\). (đpcm 1)

Vẽ đường kính AF của (O). Khi đó \(\hat{ACF}=90^{o}\). Trong đường tròn (O), ta có \(\hat{ABC}=\hat{AFC}\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung AC), suy ra \(90^{o}-\hat{ABD}=90^{o}-\hat{AFC}\), suy ra \(\hat{BAD}=\hat{FAC}\) hay \(\hat{BAE}=\hat{SAC}\) (1)

Mặt khác, trong đường tròn (O), lại có \(\hat{AEB}=\hat{ACB}\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung AB) hay \(\hat{AEB}=\hat{ACS}\) (2)

Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra tam giác ABE đồng dạng với ASC.

Suy ra \(\frac{AB}{AS}=\frac{AE}{AC}\) , suy ra \(AB\cdot AC=AE\cdot AS\) (đpcm 2)

Ý c) mình trả lời sau nhé.

Ta có \(x^2+x+2=y^2\)

\(\lrArr4x^2+4x+8=4y^2\)

\(\lrArr4y^2-4x^2-4x=8\)

\(\lrArr\left(2y\right)^2-\left(4x^2+4x+1\right)=7\)

\(\lrArr\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=7\)

\(\lrArr\left\lbrack2y+\left(2x+1\right)\right\rbrack\left\lbrack2y-\left(2x+1\right)\right\rbrack=7\)

\(\lrArr\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=7\)

Ta lập bảng sau:

Trong 4 cặp số này, chỉ có cặp (1,2) là các số nguyên dương. Vậy giá trị nguyên dương của x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(x=1,y=2\)

Hình đây nhé.

M nằm bên trái A:

M nằm bên phải C:

M nằm giữa A và C:

Trên trục số Ox, lấy điểm A, B, C lần lượt nằm ở vạch số 1, 3 và 7, M là điểm bất kì di chuyển trên trục số và ở vạch số \(x\). Dễ thấy B nằm giữa A và C. Và \(AC=6\)

Ta có \(P=\left|x-1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-7\right|=MA+MB+MC\)

Rõ ràng nếu cho M chạy ở bên trái A thì \(MC+MA>MC-MA=AC=6\) , tương tự nếu M chạy bên phải C thì \(MA-MC>6\). Còn khi M di chuyển trên đoạn thẳng AC (nằm giữa A và C) thì \(MA+MC=AC=6\) nên ta sẽ giới hạn điểm M chạy trên đoạn AC.

Khi đó, vì \(MA+MC=6\) nên \(P=MA+MB+MC=6+MB\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MB=0\) hay M trùng với B, hay \(x=3\)

Vậy \(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-7\right|\ge6\) , dấu "=" xảy ra khi \(x=3\)

Vì VT của điều kiện đã cho không âm nên VP không âm, tức là \(5x-1\ge0\lrArr x\ge\frac15\) , như vậy tất cả những biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối của pt đã cho đều dương nên ta có thể yên tâm bỏ dấu GTTĐ mà không cần phải xét trường hợp.

Từ điều kiện trên suy ra:

\(x+1+x+7+x+10+x+15=5x-1\)

\(\rArr4x+33=5x-1\)

\(\rArr x=34\)

Vậy chỉ có \(x=34\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu a sai đề rồi nhé. Cho \(n=6\) thì \(\frac{2n+1}{30n+2}=\frac{13}{182}\) không phải phân số tối giản vì \(\frac{13}{182}=\frac{1}{14}\)

b) \(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\)

\(<\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(=\frac{2-1}{1\cdot2}+\frac{3-2}{2\cdot3}+\frac{4-3}{3\cdot4}+\cdots+\frac{100-99}{99\cdot100}\)

\(=1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}\)

\(<1\)

Vậy \(M<1\)

Với \(q=2\) thì \(N=2^{q}+7=2^2+7=11\) là số nguyên tố (nhận).

Với \(q\ge3\) thì do q là số nguyên tố nên \(q\) lẻ. Do 2 chia 3 dư \(-1\) nên \(2^{q}\) cũng chia 3 dư \(-1\) (vì q lẻ), suy ra \(N=2^{q}+7\) có cùng số dư với \(-1+7=6\) khi chia cho 3, nghĩa là N chia hết cho 3.

Vậy \(q=2\)

Nếu \(p\) là số nguyên tố lẻ thì dễ thấy \(p^{q}+2^{p}+3\) là số chẵn lớn hơn 2, vô lý. Vậy \(p=2\). Khi đó \(N=p^{q}+2^{p}+3=2^{q}+2^2+3=2^{q}+7\)

Với \(q=2\) thì \(N=2^2+7=11\) là số nguyên tố (nhận).

Với \(q\ge3\) thì \(N=2^{q}+7\) chia hết cho 3 nên nó là hợp số (loại).

Vì sao \(q=2\) lại thỏa mãn còn \(q\ge3\) thì không?

Đó là vì \(q=2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất. Do 2 chia cho 3 có số dư là \(-1\) nên đem bình phương lên nó sẽ thành 1, cộng thêm 7 thành 8, không chia hết cho 3.

Nhưng với \(q\ge3\) thì lại khác.

Khi đó vì q là số nguyên tố nên q lẻ, mà \(-1\) mũ lẻ vẫn là \(-1\), khi cộng với 7 sẽ là 6, chia hết cho 3. Vì vậy, với mọi số nguyên tố \(q\ge3\) thì \(N=2^{q}+7\) luôn là hợp số.

Như vậy, ta tìm được duy nhất 1 cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(p=q=2\).

GIả sử \(VT=\left(x+ay+b\right)\left(x+cy+d\right)+k\)

Khi đó \(VT=x^2+cxy+dx+axy+acy^2+ady+bx+bcy+bd+k\)

\(VT=x^2+cay^2+\left(a+c\right)xy+\left(b+d\right)x+\left(ad+bc\right)y+bd+k\)

Đồng nhất hệ số, ta được \(\begin{cases}ca=8\left(1\right)\\ a+c=-6\left(2\right)\\ b+d=2\left(3\right)\\ ad+bc=-5\left(4\right)\end{cases}\) và \(bd+k=-1\) (5)

Từ \(\left(2\right)\lrArr c=-6-a\), thế vào (1) ta được \(\left(-6-a\right)a=8\)

\(\lrArr-a^2-6a=8\)

\(\lrArr a^2+6a+8=0\)

\(\lrArr a^2+2a+4a+8=0\)

\(\lrArr a\left(a+2\right)+4\left(a+2\right)=0\)

\(\lrArr\left(a+2\right)\left(a+4\right)=0\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}a=-2\\ a=-4\end{array}\right.\)

Nếu \(a=-2\rArr c=-4\) , \(a=-4\rArr c=-2\) , nhưng do a và c có vai trò như nhau trong VT nên không mất tổng quát, ta chọn \(a=-2,c=-4\). Thế vào (4), ta có \(-2d-4b=-5\) hay \(4b+2d=5\). (6)

Lại có \(\left(3\right)\lrArr d=2-b\) , thế vào (6), ta được \(4b+2\left(2-b\right)=5\lrArr b=\frac12\), suy ra \(d=\frac32\). Thế vào (5), suy ra \(k=-\frac74\)

Như vậy pt đã cho tương đương với \(\left(x-2y+\frac12\right)\left(x-4y+\frac32\right)-\frac74=0\)

Nhân cả 2 vế của pt này với 4 rồi chuyển vế, ta được \(\left(2x-4y+1\right)\left(2x-8y+3\right)=7\)

Ta xét các trường hợp:

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là \(\left(-2,-1\right);\left(3,2\right);\left(7,2\right);\left(-6,-1\right)\)

c) đkxđ: \(-1\le x\le4\)

pt đã cho tương đương với:

\(x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\left\lbrack\sqrt{4-x}+\left(\frac13x-2\right)\right\rbrack+\left\lbrack\sqrt{1+x}-\left(\frac13x+1\right)\right\rbrack\)

\(\lrArr x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\frac{4-x-\left(\frac13x-2\right)^2}{\sqrt{4-x}-\left(\frac13x-2\right)}+\frac{1+x-\left(\frac13x+1\right)^2}{\sqrt{1+x}-\left(\frac13x+1\right)}\)

\(\lrArr x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\frac{-\frac19x^2+\frac13x}{\sqrt{4-x}-\frac13x+2}+\frac{-\frac19x^2+\frac13x}{\sqrt{1+x}+\frac13x+1}\)

\(\lrArr x\left(x+1\right)\left(x-3\right)=\frac{-\frac19x\left(x-3\right)}{\sqrt{4-x}-\frac13x+2}+\frac{-\frac19x\left(x-3\right)}{\sqrt{1+x}+\frac13x+1}\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}x\left(x-3\right)=0\left(1\right)\\ x+1=\frac{-1}{9\left(\sqrt{4-x}-\frac13x+2\right)}+\frac{-1}{9\left(\sqrt{1+x}+\frac13x+1\right)}\left(2\right)\end{array}\right.\)

(1) \(\lrArr\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.\) (nhận)

(2) vô nghiệm vì VT>0 trong khi VP<0.

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\lbrace0;3\right\rbrace\)