Xét tam giác $ABC$ có BC⊥ AB′BC⊥ AB′ và B′C′⊥AB′B′C′⊥AB′ nên suy ra $BC$ // B′C′B′C′.

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: ABAB′ =BCBC′AB′AB​ =BC′BC​

Suy ra xx+h =aa′x+hx​ =a′a​

a′.x=a(x+h)a′.x=a(x+h)

a′.x−ax=aha′.x−ax=ah

x(a′−a)=ahx(a′−a)=ah

x=aha′ −ax=a′ −aah​.

Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt)

Suy ra DNDB =MNABDBDN​ =ABMN​ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt)

Suy ra CQCB =PQABCBCQ​ =ABPQ​ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)

Suy ra $NQ$ // $CD$

Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)

Suy ra DNDB =CQCBDBDN​ =CBCQ​ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNAB =PQAB hayABMN​ =ABPQ​ hayMN = PQ$ (đpcm).

Khi đó, $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên điểm $G$ nằm trên cạnh $AD$.

Ta có AGAD=23ADAG​=32​ hay AG=23ADAG=32​AD.

Vì $MG$ // $AB$, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23ADAG​=BDBM​=32​.

Ta có $BD=CD$ (vì $D$ là trung điểm của cạnh $BC$) nên BMBC=BM2BD=22.3=13BCBM​=2BDBM​=2.32​=31​.

Do đó BM=13BCBM=31​BC (đpcm).

$ABCD$ là hình thang suy ra $AB$ // $CD$.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: OAOC =OBODOCOA​ =ODOB​

Suy ra $OA.OD=OB.OC$ (đpcm).

Ta có DE//AC ⇒AEAB=CDBC⇒ABAE​=BCCD​ (Talet)

Ta có DF//AB ⇒AFAC=BDBC⇒ACAF​=BCBD​ (Talet)

⇒AEAB+AFAC=CDBC+BDBC=BCBC=1(dpcm)⇒ABAE​+ACAF​=BCCD​+BCBD​=BCBC​=1(dpcm)

8CM

33

43

64