a) Do $MA\perp AB$ và $NA\perp AC$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}=90^{\circ }$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét hai tam giác $BAM$ và $CAN$ có:

     $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$;

     $AB=AC$ (cmt);

     $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$;

Vậy $\Delta BAM=\Delta CAN$ (g.c.g).

b) $\Delta BAM=\Delta CAN$ suy ra $BM=CN$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $BM=BN+NM$ và $CN=CM+MN$.

Suy ra $BN=CM$.

c) Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^{\circ }$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $2\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAC}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30^{\circ }$.

Do $△BAM=△CAN$ (cmt) nên $AM=AN$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác $AMN$ cân tại $A$ (1).

Xét tam giác $CAN$ vuông tại $A$ có $\widehat{ANC}+\widehat{ACN}=90^{\circ }$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{ANC}=90^{\circ }-\widehat{ACN}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác $AMN$ đều.

Do đó $\widehat{MAN}=60^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{MAN}+\widehat{NAB}=\widehat{MAB}$.

Suy ra $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}-\widehat{MAN}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.

Do đó $\widehat{NAB}=\widehat{ABN}=30^{\circ }$.

Suy ra tam giác $ANB$ cân tại $N$.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x$, $y$, $z$ (máy).

Vì diện tích cày là như nhau nên số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nên $x.5=y.6=z.8\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{x}{24}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{15}$.

Đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba $5$ máy nên $y-z=5$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{24}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y-z}{20-15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}=1$

Suy ra $x=24$; $y=20$; $z=15$.

Từ $2x=5y$ ta suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{2}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3x}{15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4y}{8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3x+4y}{15+8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{46}{23}=2$

Suy ra $x=2.5=10$;

$y=2.2=4$.

a) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{-3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{7.(-3)}{4}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-21}{4}$.

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x+9}{15-x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$

$(15-x).2=(x+9).3$

$30-2x=3x+27$

$5x=3$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$.

a. Xét tam giác $ABM$ và tam giác $MEC$ có:

   $BM=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$)

   $\widehat{AMB}=\widehat{CME}$(đối đỉnh)

   $AM=ME$ (gt)

Suy ra $\Delta AMB=\Delta EMC$ (c.g.c)

b. Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$ và tam giác $BHD$ vuông tại $H$ có:

  $BH$ là cạnh chung

  $AH=DH$ (gt)

Suy ra $\Delta ABH=\Delta DBH$ (c.g.c)

Suy ra $AB=BD$ (cặp cạnh tương ứng) (1)

Ta lại có: $\Delta AMB=\Delta EMC$ (cmt) suy ra $AB=CE$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $CE=BD.$

c. Vì $\Delta ABH=\Delta DBH$ nên $AH=DH$ (cặp cạnh tương ứng).

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta DHM$ đều vuông tại $H$:

   $AH=DH$

   Chung cạnh $HM$

Suy ra $\Delta AHM=\Delta DHM$ (c.g.c).

Suy ra $AM=DM$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy tam giác $AMD$ là tam giác cân tại $M.$

Gọi số sách 3 lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được là $x,y,z$ (quyển) $(x,y,z\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ).

Vì số sách mà ba lớp 7A,7B,7C quyên góp được tỉ lệ với ba số $5;6;8$ nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{6}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{8}$.

Mà số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là $24$ quyển nên $z-x=24$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{6}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z-x}{8-5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3}=8$
$\Rightarrow x=5.8=40;y=6.8=48;z=8.8=64$

Vậy số sách 3 lớp 7A,7B,7C quyên góp được lần lượt là $40$ quyển; $48$ quyển và $64$ quyển.

a có: $2a=5b$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}$.

Lại có: $\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3a}{15};\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4b}{8}$.

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{3a}{15}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4b}{8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3a+4b}{15+8}=\genfrac{}{}{0ex}{}{46}{23}=2$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{5}=2$ suy ra $a=10$.

$\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}=2$ suy ra $b=4$.

a) $Q(x)=3x^2+6x-9$.

b) $Q(3)=3\; .3^2+6.3-9=36$.

c) Ta thấy $Q(-1)=Q(-3)=0$ nên $x=1$ và $x=-3$ là nghiệm của $Q(x)$.

a) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{6}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-3}{4}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{(-3).6}{4}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-9}{2}$

Vậy $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-9}{2}$.

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{-20}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{5.(-20)}{15}$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-20}{3}$

Vậy $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-20}{3}$.

c) $3(x+11)=2(14-x)$

$3x+33=28-2x$

$3x+2x=28-33$

$5x=-5$

$x=-1$

Vậy $x=-1$.

Ta có $3S=1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^2}+...++\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^{2021}}$.

$3S-S=(1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^2}+...++\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^{2021}})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^3}+\dots ..+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^{2021}}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^{2022}})$

$=1-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^{2022}}$

$3S-S=1-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3^{2022}}$

$S=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2.3^{2022}}$

Vậy $S<\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$.