a) ABCD là hình thoi nên AB//CD và \(AB=CD\). Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm của AC.

\(\Rightarrow\) AP//CQ và \(AP=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}CD=CQ\) nên APCQ là hình bình hành. 

 Do đó PQ đi qua trung điểm O của AC.

 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BAD, cát tuyến IPO, ta có:

 \(\dfrac{IA}{ID}.\dfrac{OD}{OB}.\dfrac{PB}{PA}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}.1.2=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{1}{2}\) hay A là trung điểm ID.

 Từ đó dễ thấy IO là đường trung bình của tam giác DIB, suy ra BI//AO. Lại có \(AO\perp BD\) (tính chất hình thoi) nên \(BI\perp BD\), suy ra đpcm.

 b) Dễ thấy P là trọng tâm tam giác BID nên K là trung điểm IB hay \(BK=IK\). Ta có đpcm.

\(-x^2+3x^2-3x+1\)

\(=-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)\)

\(=-\left(x^3-3\cdot x^2\cdot1+3\cdot x\cdot1^2-1^3\right)\)

\(=-\left(x-1\right)^3\)

Áp dụng hằng đẳng thức số 5:

\(\left(A-B\right)^5=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

Gọi hai số đó có dạng: \(x,x+1\) (\(x\in N\)) 

Hiệu các bình phương của chúng là 31 nên ta có: \(\left(x+1\right)^2-x^2=31\) (1)

Giải phương trình (1) ta có:

\(\left(x+1\right)^2-x^2=31\)

\(\Leftrightarrow x^2-x^2+2x+1=31\)

\(\Leftrightarrow2x+1=31\)

\(\Leftrightarrow2x=30\)

\(\Leftrightarrow x=15\)

Vậy hai số đó là: \(15,16\)  

a: ΔABC vuông cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

AD là phân giác của góc FAE

=>AEDF là hình vuông

b: AEDF là hình vuông

=>góc AEF=45 độ

=>góc AEF=góc ABC

=>EF//BC

a) AEDF là hình vuông.

b)  ��EF // ��.BC.

c)  ���^=90∘.AND=90∘.

a)  ����ADME là hình chữ nhật.

b) .Tứ giác ����AMBI là hình thang cân

c)  điều kiện của Δ���ΔABC để tứ giác ����AMBI là hình vuông.

d)  ��⊥��.PQ⊥AM.

a)  ����ABCD là hình bình hành.

b)  �,�,�P,N,Q thẳng hàng.

c) Δ���ΔABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ����ABCD là hình vuông.

a) Chứng minh ����MCDN là hình thoi.

b) Chứng minh ����ABMD là hình thang cân và ��=��.AM=BD.

c) ��DM kéo dài cắt ��AB tại �.K. Chứng minh ��,��,��AM,DB,KN đồng quy.

Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC

Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)

Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.

Ta có ����ABCD là hình thoi nên ��⊥��AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên ��BD là trung trực của ��AC

Suy ra ��=��,��=��GA=GC,HA=HC (1)(1)

Và ��AC là trung trực của ��BD suy ra ��=��,��=��AG=AH,CG=CH (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) suy ra ��=��=��=��AG=GC=CH=HA nên ����AGCH là hình thoi.