Theo bổ đề (1) ta có 

\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}+\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}+\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)Mặt khác,theo BĐT AM-GM

\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le\dfrac{3a+2b+a+4b}{2}=\dfrac{4a+6b}{2}=2a+3b\)

\(\sqrt{3b^2+8c^2+14bz}=\sqrt{\left(3b+2c\right)\left(b+4c\right)}\le\dfrac{3b+2c+b+4c}{2}=\dfrac{4b+6c}{2}=2b+3c\)

\(\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}=\sqrt{\left(3c+2a\right)\left(c+4a\right)}\le\dfrac{3c+2a+c+4a}{2}=\dfrac{4c+6a}{2}=2c+3a\)

Kết hợp lại ta được:\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}+\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}+\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}\le5\left(a+b+c\right)\)

=> \(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{5}\)

Mà theo đề bài \(a+b+c\ge5925\)

=>\(\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{a+b+c}{5}\ge\dfrac{5925}{5}=1185\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=5925\\a=b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1975\)

Cho hình vuông ABCD, có cạnh 6cm như hình vẽ, cạnh MN song song với cạnh AB và DC. Biết AN = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$ AD. Tính diện tích hình chữ nhật ABMN.

Một cái bục hình lăng trụ đứng có kích thước như Hình 12.

a) Người ta muốn sơn tất cả các mặt của cái bục trừ mặt tiếp xúc với mặt đất. Diện tích cần phải sơn là bao nhiêu?

b) Tính thể tích của cái bục.