Gọi 3 cạnh tam giác ABC là x,y,z
Ta có: x/3=y/4=z/5
=> x^2/3^2=y^2/4^2=z^2/5^2
=(x^2+y^2)/(3^2+4^2)
=(x^2+y^2)/5^2
(Tính chất dãy tỉ thức bằng nhau)
Từ đó x^2+y^2=z^2
=> Tam giác ABC vuông(Định lý đảo của Pytago)
Việc chứng minh định lý đảo này cũng rất đơn giản và số cách chứng minh cũng phong phú như định lý thuận(Định lý thuận có hàng nghìn cách chứng minh

Gọi 3 cạnh tam giác ABC là x,y,z
Ta có: x/3=y/4=z/5
=> x^2/3^2=y^2/4^2=z^2/5^2
=(x^2+y^2)/(3^2+4^2)
=(x^2+y^2)/5^2
(Tính chất dãy tỉ thức bằng nhau)
Từ đó x^2+y^2=z^2
=> Tam giác ABC vuông(Định lý đảo của Pytago)
Việc chứng minh định lý đảo này cũng rất đơn giản và số cách chứng minh cũng phong phú như định lý thuận(Định lý thuận có hàng nghìn cách chứng minh

mũ hay ngũ 

*: "mũ" chữ không phải "ngũ" nhé=)

\(M=1+5+5^2+5^3+...+5^{49}+5^{50}\)

\(5M=5+5^2+5^3+...+5^{50}+5^{51}\)

Ta có: \(5M-M=4M=5^{51}-1\Rightarrow M=\frac{5^{51}-1}{4}\)

gt : \(\widehat{xOy}< 90^{\text{o}}\), \(\widehat{xOI}=\widehat{Ioy}\), \(IA\perp Ox\), \(IB\perp Oy\). 

kl : .

c/m : Xét  và , có :

\(OI\) là cạnh chung

\(\widehat{xOI}=\widehat{IOy}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\) (ch - gn)

\(\Rightarrow IA=IB\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

< Em tự vẽ hình nhé! >

+, Xét ​tam giác IAO và tam giác IBO có :

              IO chung

              Góc AOI = Góc IOB ( vì OI là tia phân giác của góc xOy)

               Góc IAO = Góc IOB = 90 độ (gt)

=> Tam giác IAO = tam giác IBO ( ch-gn)

=> IA = IB ( 2 cạnh tương ứng )

Vì \(\left(2x-3\right)^2\ge0\forall x\)nên :

\(C=\frac{-4}{\left(2x-3\right)^2+5}\ge\frac{-4}{5}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy \(C_{min}=\frac{-4}{5}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Ta có : \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{a-b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)

\(=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng chứng minh được :

\(\hept{\begin{cases}\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\left(2\right)\\\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1), (2), (3), suy ra : \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)

\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\left(đpcm\right)\)

\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)=\(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}\)

Tuong tu => DPCM