Cho tam giác nhọn $A B C(A B<A C)$ nội tiếp đường tròn tâm $O ; E$ là điểm chính giữa cung nhỏ $B C$.
a) Chứng minh $\widehat{C A E}=\widehat{B C E}$.
b) Gọi $M$ là điểm trên cạnh $A C$ sao cho $E M=E C\ (M$ khác $C)$; $N$ là giao điểm của $B M$ với đường tròn tâm $O\ (N$ khác $B)$. Gọi $I$ là giao điểm của $B M$ với $A E ; K$ là giao điểm của $A C$ với $E N$. Chứng minh tứ giác $E K M I$ nội tiếp.

Giả sử giá tiền điện hàng tháng được tính theo bậc thang như sau:
Bậc 1: Từ $1 kWh$ đến $100 kWh$ thì giá điện là: $1500 đ / kWh$
Bậc 2: Từ $101 kWh$ đến $150 kWh$ thì giá điện là: $2000 đ / kWh$
Bậc 3: Từ $151 kWh$ trở lên thì giá điện là: $4000 đ / kWh$
(Vi dụ: Nếu dùng $170 k W h$ thi có $100 k W h$ tính theo giá bậc 1 , có $50 k W h$ tính theo giá bâck 2 và có $20 kWh$ tính theo giá bậc 3 ).
Tháng 4 năm 2021 tổng số tiền điện của nhà bạn $A$ và nhà bạn $B$ là $560000 đ$. So với tháng 4 thì tháng 5 tiền điện của nhà bạn $A$ tăng $30 \%$, nhà bạn $B$ tăng $20 \%$, do dó tổng số tiền điện của cả hai nhà trong tháng 5 là $701000 đ$. Hỏi tháng 4 nhà bạn $A$ phải trả bao nhiêu tiền điện và dùng hết bao nhiêu $kWh$ ? (biết rằng số tiền điện ở trên không tính thuế giá trị gia tăng).

Cho đường tròn $(O ; R)$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$ cắt $(O)$ tại hai điểm $A ; B$.
Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $M$; qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC$; $MD$ với đường tròn $(O)$ ($C$; $D$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
a) Chứng minh tứ giác $OMCH$ nội tiếp.
b) $OM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $I$ và cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh $OK \cdot OM=R^{2}$
c) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OM$, cắt tia $MC$ và $MD$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Tính độ dài $OM$ theo $R$ sao cho diện tích tam giác $MPQ$ nhỏ nhất.