Ta có:

\(2017\left(ab+cd\right)=ab\left(c^2+d^2\right)+cd\left(a^2+b^2\right)\)

\(=\left(ad+bc\right)\left(bd+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+cd=0\)

Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz

Ta có : 

\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)

                                                                                                                   \(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra 

\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z 

Nguồn : Đinh Đức Hùng 

Gọi 4 số đó là a , (a+1) , (a + 2) , (a + 3) 

Do là 4 số tự nhiên liên tiếp nên buộc chúng phải là số chẵn

Đặt \(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2=t^2\)

Ta có 

\(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2=4a^2+12a+14=4\left(a^2+3a+3\right)+2\)

Nhận thấy \(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2\equiv2\left(mod4\right)\)

Mặt khác , \(t^2\equiv0\left(mod4\right)\)

=> Vô lý 

Vậy tổng bình phương 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương 

Ta có: \(\left(n^2+3n+1\right)^2-1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

*Do n là số tự nhiên nên tích trên là tích 4 số tự nhiên liên tiếp

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp, trong đó 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2

=> Tích đó chia hết cho 8(1)

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

=> Tích đó chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2)

=> Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

=> ĐPCM*

       \(\left(n^2+3n+1\right)^2-1\)

\(=n^4+9n^2+1+6n^3+6n+2n^2-1\)

\(=n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)

\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) chia hết cho  2, 3, 4

mà  \(\left(2,3,4\right)=1\)

nên   \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) chia hết cho 24

hay  \(\left(n^2+3n+1\right)^2-1\) chia hết cho 24