Ai giúp mình với ===)))

\(A+A-A\times A\div A\)

\(=\left(2A-1A\right)\times A\div A\)

\(=A\times A\div A\)

\(=A^2\div A=A\left(đpcm\right)\)

\(A+A-A\times A\div A\)

\(=2A-A\)

\(=A\)

Trước tiên ta chứng minh bổ đề: Với x, y dương thì ta có:

\(\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}\ge\frac{2^{n+1}}{\left(x+y\right)^n}\)

Với n = 1 thì nó đúng.

Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay \(\frac{1}{x^k}+\frac{1}{y^k}\ge\frac{2^{k+1}}{\left(x+y\right)^k}\left(1\right)\)

Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)hay \(\frac{1}{x^{k+1}}+\frac{1}{y^{k+1}}\ge\frac{2^{k+2}}{\left(x+y\right)^{k+1}}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) cái ta cần chứng minh trở thành:

\(\frac{1}{x^{k+1}}+\frac{1}{y^{k+1}}\ge\left(\frac{1}{x^k}+\frac{1}{y^k}\right)\frac{2}{\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y^{k+1}-x^{k+1}\right)\ge0\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM.

Áp dụng và bài toán ta được

\(2\left(\frac{1}{\left(a+b-c\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(c+a-b\right)^{2018}}\right)\ge\frac{2^{2019}}{2^{2018}.a^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2^{2018}.b^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2^{2018}.c^{2018}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b-c\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(c+a-b\right)^{2018}}\ge\frac{1}{a^{2018}}+\frac{1}{b^{2018}}+\frac{1}{c^{2018}}\)

1/ Điều kiện: x>=2009.

Ta có: \(y=x-2\sqrt{x-2009}=\left(x-2009\right)-2\sqrt{x-2009}+1+2008.\)

=> \(y=\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+2008\)

Do \(\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2\ge0\) => \(y=\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+2008\ge2008\)(Với mọi x>=2009)

GTNN của y là: y=2008

Đạt được khi \(\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2=0\) <=> x-2009=1 <=> x=2010

2/ Ta có: x+y=6 => y=6-x.  Đặt A=x²y

=> A=x²y=x²(6-x)=6x²-x³ = x(6x-x²)=x(9-9+6x-x²)=x[9-(x²-6x+9)] =x[9-(x-3)²]

Do x>0 và (x-3)² >=0  => A đạt giá trị lớn nhất khi (x-3)²=0 <=> x=3 

=> GTLN của A=x²y là 3.9=27  Đạt được khi x=y=3