\(7^{80}=\left(7^4\right)^{20}=2401^{20};5^{100}=\left(5^5\right)^{20}=3125^{20}\\ Vì:2401^{20}< 3125^{20}\left(Do:2401< 3125\right).Nên:7^{80}< 5^{100}\)

Ta thấy \(7n^2+n-9=7n^2+n-8-1\) \(=\left(n-1\right)\left(7n+8\right)-1\)

Do đó theo thuật toán Euclid, ta có:

\(gcd\left(n-1,7n^2+n-9\right)\) 

\(=gcd\left(n-1,\left(n-1\right)\left(7n+8\right)-1\right)\) 

\(=gcd\left(7n^2+n-9,-1\right)\)

\(=1\)

(Thuật toán Euclid: Nếu \(a>b\) và \(a=bq+r\left(0\le r< b\right)\) thì \(gcd\left(a,b\right)=gcd\left(a,r\right)\))

Như vậy \(\dfrac{n-1}{7n^2+n-9}\) luôn là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên  p là số lẻ

⇒ 17p là số lẻ ⇒ 17p + 1 là số chẵn là hợp số (trái với đề bài)

Vậy với p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì việc chứng minh 17p + 1 là số nguyên tố là không thể.

2²⁰¹ = (2⁴)⁵⁰.2 = \(\overline{..6}\)⁵⁰.2 = \(\overline{..2}\)

2²⁰¹=2^4.50+1

=>2²⁰¹=....2

\(3^{x+1}\) + 3\(^{x+2}\) - 2 \(\times\) 3\(^x\) = 270

3\(^x\).(3 + 3² - 2) = 270

3\(^x\).10 = 270

3\(^x\)      = 270 : 10

3\(^x\)      = 27

3\(^x\)      = 3³

\(x\)       = 3

Vậy \(x\) = 3

3^x+1+3^x+2-2 . 3^x=270

3^x . 3+3^x . 3²-2 . 3^x=270

3^x . (3+9-2)          =270

3^x . 10                       =270

3^x                              =270 : 10 = 27 = 3³

=>x=3

\(\dfrac{3}{28}\) ≤   \(\dfrac{x}{56}\) ≤ \(\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{6}{56}\) ≤    \(\dfrac{x}{56}\) ≤ \(\dfrac{14}{56}\)

6 ≤        \(x\)    ≤ 14

Vì \(x\) nguyên nên \(x\) \(\in\) {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}

Vậy \(x\) \(\in\) {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}