A B C D M N

Qua C dựng đường thẳng song song với BD cắt đường thẳng AB tại điểm N.

Xét tứ giác DCNB có: CN // BD; BN // CD => Tứ giác DCNB là hình bình hành

=> DC = BN => (DC + AB)/2 = (BN + AB)/2 = AN/2 (1)

Ta có: M thuộc [AN]; AM = (DC + AB)/2                    (2)

(1); (2) => AM = AN/2 => M là trung điểm của AN  = >CM là trung tuyến \(\Delta\)ACN

Lại có: AC vuông góc BD; BD // CN => AC vuông góc CN (Qh //; vuông góc)

Xét \(\Delta\)ACN vuông đỉnh C có trung tuyến CM (cmt) => CM = AM => \(\Delta\)CAM cân tại M

=> ^MAC = ^MCA. Mà ^MAC = ^DCA (Do AB//CD) nên ^MCA = ^DCA 

Vậy nên  CA là phân giác ^MCD (đpcm).

Gọi số tự nhiên x : 9 dư 5 là: 9k +5

ta có: (9k+5)² = 81k² + 45k + 25 

mà 81k² chia hết cho cho 9

45k chia hết cho 9

25 chia 9 dư 7

=> 81k² + 45k + 25 : 9 dư 7

=> x : 9 dư 7

nhầm !!!

..

Gọi số tự nhiên x  : 9 dư 5 là: 9k + 5

ta có: (9k+5)² = 81k² + 90 k + 25

mà 81k² chia hết cho 9

90 k chia hết cho 9

25: 9 dư 7

=> 81k² + 90k + 25 : 9 dư 7

=> (9k+5)² : 9 dư 7

=> x² :9 dư 7

ta có : a^2 + b^2 + 1 = ab + a + b

=> 2a^2 + 2b^2 + 2 = 2ab + 2a + 2b

=> 2a^2 + 2b^2 + 2 - 2ab - 2a - 2b = 0

(a^2-2a+1) + (b^2-2b+1) + (a^2 - 2ab + b^2) = 0

(a-1)^2 + (b-1)^2 + (a-b)^2 = 0

mà (a-1)^2;(b-1)^2;(a-b)^2 lớn hơn hoặc = 0

=> (a-1)^2 = 0 => a-1=0 => a = 1

(b-1)^2 = 0 => b - 1 = 0 => b = 1

=> a =b=1

\(a^2+b^2+1=ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-ab-a-b=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-a+1\right)+\left(b^2-b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=b=1\)

Ta có: \(x^4+x^2+1=x^4+x^3+x^2-\left(x^3-1\right)=x^2\left(x^2+x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

Do \(x^4+x^2+1⋮x^2+ax+b\) nên \(\orbr{\begin{cases}x^2+ax+b=x^2+x+1\\x^2+ax+b=x^2-x+1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=-1\\b=1\end{cases}}\)

Vậy ...

\(\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x^2+x+x^2+x=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x^2\right)+2x^2+\left(x+x\right)=6\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x^2+2x=6\Leftrightarrow4x^2+2x=6\Leftrightarrow x=1\) 

Nãy vội quá làm nhầm! Sorry =((((

\(\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+2x^2x+x^2+x^2+x=6\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3+\left(x^2+x^2\right)+x=6\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3+2x^2+x=6\)

Giải phương trình trên ta được nghiệm x = 1. (Mình mới biết đáp số, chưa rõ cách giải,bạn tham khảo thêm ở đây: Cách giải phương trình bậc 4)

a, \(\Delta HCI=\Delta DCI\left(ch-gn\right)\Rightarrow HI=DI=AI=\frac{1}{2}AD\)

\(\Delta AHD\)có đường trung tuyến \(HI=\frac{1}{2}AD\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\)vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{AHD}=90^0\)

b,  \(\Delta AIB=\Delta HIB\left(ch-cgv\right)\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{HBI}\)

Do đó: BI là tia p/g của \(\widehat{ABC}\)

Mà      CI là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

          \(\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=90^0\)

c,  \(\Delta HCI=\Delta DCI\left(cmt\right)\Rightarrow HC=DC\)(1)

     \(\Delta ABI=\Delta HBI\left(cmt\right)\Rightarrow AB=HB\)  (2)

Từ (1) và (2), ta được \(AB+DC=HB+HC=BC\)

A B C D O H

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD

Nên O là trung điểm của AC và BD

\(\Delta AEC\)vuông tại E có EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow EO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD\)

\(\Delta BED\)có trung tuyến \(EO=\frac{1}{2}BD\)

\(\Rightarrow\Delta BED\)vuông tại E \(\Rightarrow\widehat{BED}\)vuông

3.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 14cm, BC= 50cm. Gọi h là trung điểm AC. Đường vuông góc được vẽ từ H của AC cắt đường phân giác góc B ở K, và cắt BC tại M. Từ H hạ HD vuông góc BC (H thuộc BC).

a) tính HC.

b) CM: tam giác BKC vuông.

c) tính BK.

d) CM: DB^2 – DC^2= AB^2