Để tìm phần nguyên của biểu thức \( A = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) \times 231 \), chúng ta cần tính giá trị của \( A \) trước, sau đó lấy phần nguyên của kết quả.

Đầu tiên, tính tổng của các phân số:

\[ A = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) \]

\[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \]

Bây giờ, hãy tính tổng này:

\[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \]
\[ = \frac{4291}{4290} \]

Bây giờ, ta nhân \( A \) với 231:

\[ A \times 231 = \frac{4291}{4290} \times 231 \]
\[ = 231 + \frac{231}{2} + \frac{231}{3} + \frac{231}{5} + \frac{231}{7} + \frac{231}{11} + \frac{231}{13} \]

Sau đó, chúng ta sẽ lấy phần nguyên của tổng này. Tức là, phần nguyên của \( A \times 231 \) là 231 cộng với phần nguyên của các phân số dư:

\[ 231 + \left\lfloor \frac{231}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{231}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{231}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{231}{7} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{231}{11} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{231}{13} \right\rfloor \]

\[ = 231 + 115 + 77 + 46 + 33 + 21 + 17 \]
\[ = 231 + 309 \]

\[ = 540 \]

Vậy, phần nguyên của biểu thức \( A \times 231 \) là 540.

a) \(x^3-4x=0\)

\(x\left(x^2-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2-4=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm2\end{cases}}}\)

b) \(5x\left(3x-2\right)=4-9x^2\)

\(5x\left(3x-2\right)-\left(4-9x^2\right)=0\)

\(5x\left(3x-2\right)-\left(2-3x\right)\left(2+3x\right)=0\)

\(5x\left(3x-2\right)+\left(3x-2\right)\left(2+3x\right)=0\)

\(\left(3x-2\right)\left(5x+3x+2\right)=0\)

\(\left(3x-2\right)\left(8x+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3x-2=0\\8x+2=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\x=\frac{-1}{4}\end{cases}}}\)

c) \(x^2+7x=8\)

\(x^2+7x-8=0\)

\(x^2+8x-x-8=0\)

\(x\left(x+8\right)-\left(x+8\right)=0\)

\(\left(x+8\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+8=0\\x-1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-8\\x=1\end{cases}}}\)

d) \(2x^2+4y^2+10x+4xy=-25\)

\(x^2+x^2+4y^2+10x+4xy+25=0\)

\(\left(4y^2+4xy+x^2\right)+\left(x^2+10x+25\right)=0\)

\(\left(2y+x\right)^2+\left(x+5\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2y+x=0\\x+5=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{5}{2}\\x=-5\end{cases}}}\)

\(\left(x+y-z\right)^2\)

\(=\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right)\)

\(=x^2+xy-xz+xy+y^2-yz-zx-zy+z^2\)

\(=x^2+y^2+z^2+2xy-2zx-2zy\)

Ta có: \(VT=\frac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\)

\(=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)^2-2\left[\frac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\right]\)

\(=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)^2-2\left[\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right]\)

\(=\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)^2+2\ge2\)        \(\left(Q.E.D\right)\)

Ta có:

\(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 (đpcm)