I. Sơ đồ khảo sát hàm số1. Tập xác định
+ Phân thức: mẫu số khác 00;
+ Căn thức: biểu thức trong căn không âm;
+ Hàm số lượng giác.
2. Sự biến thiên
+ Xét chiều biến thiên của hàm số:
Tính đạo hàm y'y′;
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 00 hoặc không xác định;
Xét dấu đạo hàm y'y′ suy ra chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị.
+ Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
3. Đồ thị
+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ;
+ Dựa vào các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị;
+ Chú ý thêm tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có).
II. Khảo sát hàm số bậc ba dạng
y=ax^3+bx^2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d,
(a \ne 0)(a=0)Ví dụ: Khảo sát hàm số
y=-x^3+3x^2-4x+2y=−x3+3x2−4x+21) Tập xác định \mathbb RR.
2) Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên:
Luyện tập
y' =y′=
-3x^3+6x^2-4x−3x3+6x2−4x.
-x^2+3x-4−x2+3x−4.
-3x^2+6x-4−3x2+6x−4.Kiểm tra
Ta có y' = -3(x-1)^2-1 < 0,y′=−3(x−1)2−1<0, \forall x \in \mathbb R.∀x∈R.
Luyện tập
Nên hàm số đã cho luôn nghịch biếnđồng biến trên khoảng (-\infty;+\infty)(−∞;+∞)
và hàm số không có cực trịcó cực tiểucó cực đại.
Kiểm tra
+ Giới hạn tại vô cực:
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[-x^3\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)\right]=+\inftyx→−∞limy=x→−∞lim[−x3(1−x3+x24−x32)]=+∞;
Luyện tập
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=x→+∞limy=+-\infty∞
Kiểm tra
+ Bảng biến thiên
3) Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục OxOx tại điểm (1;0)(1;0).
Luyện tập
và cắt trục OyOy tại điểm (012;-102)
Kiểm tra
Đồ thị của hàm số đã cho là
Dạng đồ thị các hàm số dạng y=ax^3+bx^2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d, (a\ne 0)(a=0)
.png)
III. Khảo sát hàm số trùng phương dạng
y= ax^4+bx^2+cy=ax4+bx2+c,
(a\ne 0)(a=0).png)
IV. Khảo sát hàm số phân thức dạng
y=\dfrac{ax+b}{cx+d}y=cx+dax+b,
(cx+d \ne 0; ad-bc \ne 0)(cx+d=0;ad−bc=0).png)
I. Sơ đồ khảo sát hàm số1. Tập xác định
+ Phân thức: mẫu số khác 00;
+ Căn thức: biểu thức trong căn không âm;
+ Hàm số lượng giác.
2. Sự biến thiên
+ Xét chiều biến thiên của hàm số:
Tính đạo hàm y'y′;
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 00 hoặc không xác định;
Xét dấu đạo hàm y'y′ suy ra chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị.
+ Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
3. Đồ thị
+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ;
+ Dựa vào các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị;
+ Chú ý thêm tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có).
II. Khảo sát hàm số bậc ba dạng
y=ax^3+bx^2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d,
(a \ne 0)(a=0)Ví dụ: Khảo sát hàm số
y=-x^3+3x^2-4x+2y=−x3+3x2−4x+21) Tập xác định \mathbb RR.
2) Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên:
Luyện tập
y' =y′=
-3x^3+6x^2-4x−3x3+6x2−4x.
-x^2+3x-4−x2+3x−4.
-3x^2+6x-4−3x2+6x−4.Kiểm tra
Ta có y' = -3(x-1)^2-1 < 0,y′=−3(x−1)2−1<0, \forall x \in \mathbb R.∀x∈R.
Luyện tập
Nên hàm số đã cho luôn nghịch biếnđồng biến trên khoảng (-\infty;+\infty)(−∞;+∞)
và hàm số không có cực trịcó cực tiểucó cực đại.
Kiểm tra
+ Giới hạn tại vô cực:
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[-x^3\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)\right]=+\inftyx→−∞limy=x→−∞lim[−x3(1−x3+x24−x32)]=+∞;
Luyện tập
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=x→+∞limy=+-\infty∞
Kiểm tra
+ Bảng biến thiên
3) Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục OxOx tại điểm (1;0)(1;0).
Luyện tập
và cắt trục OyOy tại điểm (012;-102)
Kiểm tra
Đồ thị của hàm số đã cho là
Dạng đồ thị các hàm số dạng y=ax^3+bx^2+cx+dy=ax3+bx2+cx+d, (a\ne 0)(a=0)
III. Khảo sát hàm số trùng phương dạng
y= ax^4+bx^2+cy=ax4+bx2+c,
(a\ne 0)(a=0)
IV. Khảo sát hàm số phân thức dạng
y=\dfrac{ax+b}{cx+d}y=cx+dax+b,
(cx+d \ne 0; ad-bc \ne 0)(cx+d=0;ad−bc=0)
A. √2 + 5√3