a) Xét tam giác QMN có :

A là trung điểm của MN

B là trung điểm của MQ

=) AB là đường trung bình của tam giác QMN

=) AB // MQ Và AB=\(\frac{1}{2}\)MQ (*)

Xét tam giác QPN có :

C là trung điểm của QP

D là trung điểm của NP

=) CD là đường trung bình của tam giác QPN

=) CD // QN Và CD=\(\frac{1}{2}\)QN (**)

Từ (*) và (**) =) Tứ giác ABCD là hình bình hành  (1)

Xét tam giác MQP có :

B là trung điểm của MQ

C là trung điểm của QP

=) BC là đường trung bình của tam giác MQP

=) BC // MP

Do MNPQ là hình thoi =) MP\(\perp\)NQ

Mà BC // MP và AB // NQ

=) BC\(\perp\)AB   (2)

Từ (1) và (2) =) ABCD là hình chữ nhật

b) Ta có : MQ=QP

Do B là trung điểm của MQ =) MB=BQ=\(\frac{MQ}{2}\)

Do C là trung điểm của QP =) QC=CP=\(\frac{QP}{2}\)

=) QB=QC

Do MNPQ là hình thoi =) QM là đường phân giác \(\widehat{MQP}\)

=) \(\widehat{MQN}\)=\(\widehat{NQP}\)=\(\frac{\widehat{MQP}}{2}\)

Xét tam giác QMN có:

MQ=MQ và \(\widehat{QMN}\)=60⁰

=) QMN là tam giác đều

Xét tam giác MQN có :

NQ là đường trung tuyến=) NQ là đường phân giác của \(\widehat{MNQ}\)

=) \(\widehat{MNB}\)=\(\widehat{BNQ}\)=\(\frac{\widehat{MNQ}}{2}\)=\(\frac{60^0}{2}\)= 30⁰

Xét tam giác QBN và tam giác QCN có :

QB=QC ( chứng minh trên )

\(\widehat{BQN}\)=\(\widehat{CQN}\) ( chứng minh trên )

QN là cạch chung

=) tam giác QBN = tam giác QCN (c-g-c)

=)\(\widehat{BNQ}\)=\(\widehat{QNC}\) =30⁰ (2 góc tương ứng ) và BN=CN ( 2 cạch tương ứng )

=) Tam giác BNC là tam giác cân tại N (3)

Ta có : \(\widehat{BNQ}\)+\(\widehat{QNC}\)=\(\widehat{BNC}\)

       =) 30⁰ +30⁰ =\(\widehat{BNC}\)

      =) \(\widehat{BNC}\)=60⁰  (4)

Từ (3) và (4) =) Tam giác BNC là tam giác đều

\(P=\frac{x^2}{x-2}=\frac{8\left(x-2\right)+\left(x^2-8x+16\right)}{x-2}=8+\frac{\left(x-4\right)^2}{x-2}\)

Vì \(\left(x-4\right)^2\ge0,x-2>0\left(x>2\right)\Rightarrow\frac{\left(x-4\right)^2}{x-2}\ge0\Rightarrow P=8+\frac{\left(x-4\right)^2}{x-2}\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x-4=0\Rightarrow x=4\)

Vậy GTNN của P là 8 khi x = 4

Sửa lại từ chỗ dòng thứ 4 từ trên xuống.

\(=\left(t+\frac{4}{t}\right)+4\ge2\sqrt{\frac{4t}{t}}+4=4+4=8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(t=\frac{4}{t}\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=t+2=2+2=4\)

Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=4\)

\(\frac{2a^2-3}{a^2+1}=\frac{2a^2+2-5}{a^2+1}=\frac{2.\left(a^2+1\right)-5}{a^2+1}=2-\frac{5}{a^2+1}\)

p/s: Boul mới lớp 7 sai sót bỏ qua nhé :))

ei, tớ nghĩ cái đề là tìm GTNN

ta có:

\(a^2\ge0\Rightarrow a^2+1\ge1\Rightarrow2-\frac{5}{a^2+1}\ge2-\frac{5}{1}\)

dấu = xảy ra khi a²=0

=> a=0

Vậy min \(\frac{2a^2-3}{a^2+1}=-3\)khi x=0