ùm

a lô help ,e

a) \(A=\frac{1}{y-1}-\frac{y}{1-y^2}\left(y\ne\pm1\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{y-1}+\frac{y}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}=\frac{y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

Thay y=2 (tm) vao A ta co:

\(A=\frac{2\cdot2+1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}=\frac{5}{3}\)

Vay \(A=\frac{5}{3}\)voi y=2

b) Ta co: \(\hept{\begin{cases}A=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\left(y\ne\pm1\right)\\B=\frac{y^2-y}{2y+1}=\frac{y\left(y-1\right)}{2y+1}\left(y\ne\frac{-1}{2}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\cdot\frac{y\left(y-1\right)}{2y+1}=\frac{\left(2y+1\right)\cdot y\cdot\left(y-1\right)}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(2y+1\right)}=\frac{y}{y+1}\)

Tổng vận tốc của hai xe là:

   44,5 + 35,5 = 80 ( km/giờ)

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ 

Quãng đường AB dài số ki - lô - mét là:

 80 x 1,5 = 120 ( km )

       Đáp số: 120 km

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)

Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi. 

Chứng minh các khác: 

Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)  (@)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)

Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@) 

=> (2) đúng 

Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.

Do x khác 0, chia cả hai vế cho x², ta được :

A = \(\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1}\)

Áp dụng bđt cosi cho 2 số dương x² và 1/x² (x khác 0)

Ta có: x² + 1/x² \(\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=2\)

=> \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1\ge3\)

=> \(\frac{1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1}\le\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x² = 1/x² => x⁴ = 1 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy MaxA = 1/3 khi x = 1 hoặc x = -1

Chia cả tử và mẫu cho x²
ta được 1/(x^2+1+1:x^2)
ta dùng định lý cô sin vào x^2+1:x^2
ta có x^2+1:x^2 ≥ 2 √ x^2.1/x^2
suy ra x^2+1:x^2 ≥ 2suy ra
x^2+1+1:x^2≥ 3
suy ra 1/(x^2+1+1:x^2) ≤ 1/3
vậy max = 1/3

a) \(M\left(x\right)=P\left(x\right)+Q\left(x\right)=\left(x^4-5x+2x^2+1\right)+\left(5x+3x^2+5+\frac{1}{2}x^2+x\right)\)

\(M\left(x\right)=x^4-5x+2x^2+1+5x+3x^2+5+\frac{1}{2}x^2+x\)

\(M\left(x\right)=x^4+\left(2x^2+3x^2+\frac{1}{2}x^2\right)+\left(5x-5x\right)+\left(1+5\right)\)\(=x^4+5\frac{1}{2}x^2+6\)

b) Đặt  \(M\left(x\right)=x^4+5\frac{1}{2}x^2+6=0\Leftrightarrow x^4+5\frac{1}{2}x^2=0-6=-6\)

Mà \(x^4\ge0;5\frac{1}{2}x^2\ge0\forall x\Rightarrow x^4+5\frac{1}{2}x^2\ne-6\Rightarrow M\left(x\right)\) vô nghiệm

\(a,M-\left(3xy-4y^2\right)=x^2-7xy+8y^2\)

\(\Leftrightarrow M=x^2-7xy+8y^2+\left(3xy-4y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-7xy+8y^2+3xy-4y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(-7xy+3xy\right)+\left(8y^2-4y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(-4xy\right)+4y^2\)

\(\Rightarrow M=x^2+\left(-4xy\right)+4y^2\)