Cho a, b, c là độ dài tương ứng của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h^2_a+h_b^2+h_c^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi bán kính đường tròn là R.
Kẻ đường kính CO cắt đường tròn (O) tại J. Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ O đến BC. Theo tính chất đường kính dây cung : I là trung điểm BC.
Do độ lớn BC không đổi nên OI cũng không đổi. Ta tính được \(OI=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)
Do JC là đường kính nên \(\widehat{JAC}=\widehat{JBC}=90^o\)
Suy ra JA // BH; JB // AH.
Vậy tứ giác JAHB là hình bình hành. Ta có AH = JB.
Xét tam giác JBC có O là trung điểm JC, I là trung điểm BC nên OI là đường trung bình.
Vậy thì JB = 2OI.
Từ đó suy ra AH = 2 OI = \(2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\) (const)
Vậy thì \(AH.AK=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.AK\)
AK lớn nhất khi A là điểm chính giữa cung BC.
Khi đó \(AK\equiv AI=3OI=3\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)
Vậy thì maxAH.AK \(=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.3\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}=6\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)\)
Bất đẳng thức Karamata là một bất đẳng thức được đặt tên theo nhà toán học Jovan Karamata Cho tập I là một khoảng trên trục số thực và f là lồi trên tập
Ta có:n+3=n-1+4
Để n+3 chia hết cho n-1 thì 4 chia hết cho n-1
\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(4\right)=\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{-3,-1,0,2,3,5\right\}\)Vì n là số tự nhiên nên \(n\in\left\{0,2,3,5\right\}\) thỏa mãn
Câu b tương tự
dk bn tự tìm nhé
chia cả 2 vế cho x khác 0
\(x+2\sqrt{x-\frac{2}{x}}=3\)\(+\frac{2}{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{2}{x}\right)+2\sqrt{x-\frac{2}{x}}-3=0\)
dặt \(a=\sqrt{x-\frac{2}{x}}\ge0\)
\(\Rightarrow t^2+2t-3=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\left(tm\right)\\t=-3\left(loại\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-\frac{2}{x}}=1\)đen đây bn giải tieps nhé
Lấy B' đối xứng với B qua AK ( K thỏa mãn \(BK\perp AB\); \(AK\perp BK\))
CM được : \(\hept{\begin{cases}BB'=2BK=2AH=2h_a\\AB=AB'\end{cases}}\)
Ta có : \(BB'^2=CB'^2-BC^2\le\left(AB'+AC\right)^2-BC^2=\left(AB+AC\right)^2-BC^2\)
\(\Rightarrow\left(2h_a\right)^2=4h_a^2\le\left(b+c\right)^2-a^2\)
Tương tự , ta có : \(4h_b^2\le\left(a+c\right)^2-b^2\) và \(4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2\)
Suy ra : \(4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2-a^2-b^2-c^2\)
\(\Rightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\)Hay \(P\ge4\)
" = " khi \(B',A,C\) thẳng hàng \(\Rightarrow A\)là trung điểm của \(B'C\)\(\Rightarrow AH\)là trung tuyến \(\Delta ABC\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại \(A\)
Tương tự , \(\Delta ABC\) lần lượt cân tại \(B,C\)
Suy ra : \(\Delta ABC\) đều
Vậy \(MIN_P=4\)đạt được khi \(\Delta ABC\)đều