bài toán hay

Ta có:
\(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)(1)
Mặt khác:
\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ca\left(c+a\right)+6abc\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\frac{1}{abc}+3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\frac{1}{abc}+3.\left(-2\right)+6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=1\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\left(đpcm\right)\)

 

bạn cho mình hỏi thê thì dữ liệu a^3+b^3+c^3 không được dùng à

ko biết làm câu 1

chư số tận cùng là2

Điều kiện x , y \(\ge\)0

HPT <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\\x+y=2\left(x\ge0\right)\end{cases}}\)   <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\\\sqrt{x+y}=\sqrt{2}\end{cases}}\)=> \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}\)

<=> \(x+y+2\sqrt{xy}=x+y\)<=> \(xy=0\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)

* Với x=0 => y=2

* Với y=0 => x=2

Vậy nghiệm của phương trình (x;y) = (0;2) ; (2;0)

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có tam giác MAB cân tại M có MK là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì K là trung điểm AB hay \(AK=\frac{AB}{2}\)

Ta thấy các tam giác MHO, MAO, MBO đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền MO nên M, H, A, O B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

b) Do K là trung điểm AB nên theo tính chất đường kính dây cung, ta có \(\widehat{IKO}=90^o\)

Suy ra \(\Delta IKO\sim\Delta MHO\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI.OH=OM.OK\)

Xét tam giác vuông MBO, đường cao BK, ta có: \(OK.OM=OB^2=R^2\)

Vậy nên \(OI.OH=OK.OM=R^2\)

c) Ta thấy do trung điểm của BN cắt OM tại E nên EN = EB

Lại có EB = EA vì OM là đường trung trực của AB

Suy ra EA = EN hay tam giác EAN cân tại E.

Gọi J là trung điểm AN.

Xét tam giác cân EAN có EJ là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(EJ\perp OA\) hay EJ // AM.

Xét tam giác OAM, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{OE}{OM}=\frac{OF}{OA}=\frac{2}{3}\)

áp dụng bđt svacxơ, ta có 

\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

dấu = xảy ra <=>\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)

nên \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)

,mặt khác, ta có \(\frac{2}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{1}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(x^2+y^2\right)^n}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(2.x^2\right)^n}{\left(2.a\right)^n}=2.\frac{2^2.x^{2n}}{2^2.a^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)

từ 2 điều trên => \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n}\)