Đặt \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\right)=2+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\right)\)(đó cũng là S)

\(\Rightarrow S=2+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\right)\Leftrightarrow S=2+2S\Rightarrow S=2\)

Vậy khi tổng S kéo dài mãi mãi thì kết quả của chúng là 2

Nếu kéo dài mãi mãi thì lm sao tìm đc đáp số chứ.

Để giải đc thì tổng chỉ cs thể là 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...+1/(n:2) + 1/n

Gọi giá trị biểu thức trên là A=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...+1/(n:2) + 1/n

A x 2 = 1 + 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...+1/(n:4) + 1/(n:2)

A = A x 2 - A = 1 + 1/2 - 1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/8 - 1/8 + 1/16 - 1/16 + 1/32 - 1/32 + ...+1/(n:2) - 1/(n:2) - 1/n

A = 1 - 1/n

Quê hương! Hai tiếng ấy thôi mà sao thân thương quá. Quê hương là nơi chôn rau cắt rốn của mỗi người. Nơi ấy không chỉ có gia đình, người thân mà còn có cả những gì gần gũi, thân thuộc nhất. Quê hương đối với em mang ý nghĩa vô cùng đặc biệt, nhất là cánh đồng lúa rộng lớn bao la.

Em sinh ra và lớn lên ở vùng quê đồng bằng Bắc Bộ - một trong những vựa lúa lớn trên dải đất hình chữ S thân yêu. Từ nhỏ, cánh đồng lúa mênh mông đã hằn sâu trong kí ức non nớt, thơ ngây của em. Cánh đồng lúa quê hương em đẹp như một tấm thảm khổng lồ, mỗi mùa lúa qua đi, tấm thảm ấy lại thay màu mới.

Sáng sớm tinh mơ, tiếng gà trống vang vọng khắp cả miền quê, đánh thức vạn vật bừng tỉnh giấc. Làn khói bếp màu lam bay lên, quyện vào nhau trên không trung. Cánh đồng cũng tỉnh dậy sau một giấc ngủ dài. Ánh mặt trời chan hòa khắp muôn nơi, len lỏi qua từng cây lúa, những giọt sương long lanh còn đọng lại trên lá lúa, long lanh như những viên pha lê trong suốt. Con cò trắng đang cúi đầu mổ mổ, nghe tiếng động thì hoảng hốt dang cánh bay lên cao. Những cơn gió tinh nghịch thổi qua làm biển lúa dập dờn sóng vỗ, nối đuôi nhau chạy tít tận chân trời.

Mặt trời dần lên cao, ánh nắng rực rỡ xuyên qua những màn mây trắng bồng bềnh, vuốt ve cả cánh đồng bao la, bát ngát. Bóng nón của các bác nông dân nhấp nhô lên xuống, tiếng bì bõm lội nước vang lên giữa làng quê tạo cảm giác thanh bình, yên ả lạ thường.

Ngày dần trôi đi, đã đến lúc hoàng hôn, cánh đồng cũng như cảnh vật khác, đắm mình trong ráng chiều đỏ rực. Các bác nông dân đã lục tục ra về, cả cánh đồng rộng lớn là thế chợt chìm vào khoảng không vô tận, thỉnh thoảng ngân vang những tiếng chuông từ ngôi chùa phía xa.

Mặt trời xuống núi đằng Tây, bóng tối dần xâm chiếm không gian của ánh sáng. Trời tối dần, tối dần, nhà nhà lên đèn, quây quần bên bữa cơm chiều muộn. Cánh đồng lúa lặng lẽ ngâm mình trong bóng tối. Âm thanh của đủ loại côn trùng vang lên giữa không gian yên tĩnh. Dưới ánh trăng yếu ớt, cánh đồng lặng lẽ dõi theo cả làng quê rồi dường như cũng chìm vào giấc ngủ khuya, tạm biệt những chú côn trùng vẫn mải miết kêu vang để ngày mai còn thức dậy.

Mỗi khoảnh khắc trong ngày, cánh đồng lúa lại mang một sắc thái khác. Mỗi khoảnh khắc trong năm, nó lại đem về một sắc màu riêng cho vùng quê thanh bình này. Mùa xuân, mạ non mới nhủ, mơn mởn trong gió xuân. Qua đi ít lâu, mạn non khôn lớn, thành cây trưởng thành rồi bước vào thì con gái. Những hạt sữa trắng tinh hình thành trong lớp vỏ chấu, hấp thụ đủ tinh hoa của đất trời và trở nên săn chắc. Chợt một ngày kia, lúa rủ nhau chín, lúc ấy, cả cánh đồng như một tấm thảm vàng ươm khổng lồ. Hương lúa chín dịu dịu mà say đắm lòng người khẽ lan tỏa khắp không gian hứa hẹn một mùa màng bội thu. Trên khuôn mặt những người nông dân hiền lành, chất phác lấp lánh những nụ cười hạnh phúc. Cả gia đình cùng nhau ra đồng gặt lúa. Những bông lúa chĩu nặng được đôi bàn tay con người nâng niu, trân trọng. Lúa gặt xong còn lại những gốc rạ trơ trọi giữa đồng, những sân thóc vàng ruộm. Một mùa khắc nghiệt qua đi, người nông dân lại chăm chỉ gieo mạ, cấy cày, chăm sóc từng ngọn lúa. Âm thanh của thiên nhiên và con người hăng say lao động chan hòa vào nhau tấu lên khúc nhạc giản dị của đồng quê.

Cánh đồng lúa quê em không chỉ là điểm tựa cho bao gia đình sinh sống mà còn là một phần không thể thiếu của quê hương, một phần máu thịt trong cơ thể mỗi người. Để rồi một ngày kia xa quê, lòng em vẫn bồi hồi nhớ hình ảnh cánh đồng bao la cùng niềm tự hào trào dâng trong trái tim mình:

“Việt Nam đất nước ta ơi
Mênh mông biển lúa đâu trời đẹp hơn...”

a)Giời chớm hè. Cây cối um tùm. Cả làng thơm. Cây hoa lan nở hoa trắng xóa. Hoa đẻ từng chùm mảnh dẻ. Hoa móng rồng bụ bẫm thơm như mùi mít chín ở góc vườn ông Tuyên. Ong vàng, ong vò vẽ, ong mật đánh lộn nhau để hút mật ở hoa. Chúng đuổi cả bướm. Bướm hiền lành bỏ chỗ lao xao. Từng đàn rủ nhau lặng lẽ bay 

đầy đủ 

Xác định các phép tu từ và nêu tác dụng của chúng trong 2 đoạn sau:

a) Giời chớm hè. Cây cối um tùm. Cả làng thơm. Cây hoa lan nở hoa trắng xóa. Hoa đẻ từng chùm mảnh dẻ. Hoa móng rồng bụ bẫm thơm như mùi mít chín ở góc vườn ông Tuyên. Ong vàng, ong vò vẽ, ong mật đánh lộn nhau để hút mật ở hoa. Chúng đuổi cả bướm. Bướm hiền lành bỏ chỗ lao xao. Từng đàn rủ nhau lặng lẽ bay đi.

Xác định phép tu từ được sử dụng trong đoạn :
- So sánh :

+ Hoa móng rồng … thơm như mùi mít chín

+ Liệt kê : Hoa lan, hoa giẻ, hoa móng rồng, ong vàng, ong vò vẽ, ong mật
+ Nhân hoá : Hoa giẻ từng chùm mảnh dẻ; Hoa móng rồng bụ bẫm; Ong vàng, ong vò vẽ, ong mật đánh lộn nhau; Bướm hiền lành … rủ nhau …

Tác dụng của các biện pháp tu từ :
- Đoạn văn sử dụng rất nhiều biện pháp tu từ gợi lên một bức tranh làng quê đầu hè đầy sức sống nên thơ.
+ Hình ảnh so sánh và thủ pháp liệt kê có tác dụng gợi lên một không gian nồng nàn hương thơm, tươi tắn nhiều màu sắc, rộn rịp những hoạt động của thế giới loài vật.
+ Với thủ pháp nhân hoá, cảnh vật hiện lên rất có hồn, sống động, đáng yêu
- Thể hiện niềm say mê, tình yêu thiên nhiên, tình yêu tổ quốc của tác giả.
- Gợi dậy ở người đọc cảm xúc náo nức, yêu mến, tự hào cảnh đẹp quê hương.

\(\frac{260abc}{626}=abc\) 

\(\frac{260000+abc}{626}=abc\)    

\(260000+abc=626\cdot abc\) 

\(260000=625\cdot abc\) 

\(abc=416\)

Ta có : 260abc : 626 = abc

=> 260 000 + abc = abc.626

=> 260 000 = 625.abc

=> abc = 416

Vậy abc = 416

x + 4131 : 3⁵ = 5.3²

x+17=45

x=45-17

x=28

x+4131:3⁵=5 x 3²

x+17=45

       x=45+17

       x=62

HOK TỐT

dùng thủ thuật giống một bài toán lớp 3

Cho m=n=0 ta được \(f\left(0\right)=2f^2\left(0\right)\Rightarrow f\left(0\right)=0\)

Cho m=1; n=0 ta được \(\orbr{\begin{cases}f\left(1\right)=0\\f\left(1\right)=1\end{cases}}\). Ta xét trường hợp f(1)=1, với f(1)=0 ta xét tương tự, với f(1)=1 ta lần lượt tính được

\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=f\left(1^2+1^2\right)=f^2\left(1\right)+f^2\left(1\right)=2\\f\left(4\right)=f\left(2^2+0^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(0\right)=4\\f\left(5\right)=f\left(2^2+1^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(1\right)=5\end{cases}}\)

áp dụng thủ thuật của một bài toán lớp 3. Ta không tính trực tiếp f(3) nhưng ta lại có \(f^2\left(5\right)=f\left(25\right)=f\left(3^2+4^2\right)=f^2\left(4\right)+f^2\left(3\right)\)từ đó ta tính được f(3)=3

Tương tự như vậy ta có thể tính được f(6) nhờ vào đẳng thức 6²+8²=10² trong đó \(f\left(8\right)=f\left(2^2+2^2\right)=2f^2\left(2\right)=8;f\left(10\right)=f\left(3^2+1^2\right)=f^2\left(3\right)+f^2\left(1\right)=10\)

Tiếp tục để tính f(7) ta để ý 7²+1²=50 =5²+5², từ đó f(7)=7. Cũng như thế do đó 11²+2²=10²+5² nên suy ra f(11)=11

Cách làm này có thể tổng quát hóa như thế nào? Ý tưởng là \(m^2+n^2=p^2+q^2\left(1\right)\)thì \(f^2\left(m\right)+f^2\left(n\right)=f^2\left(q\right)+f^2\left(p\right)\)do đó nếu tính được \(f\left(n\right);f\left(q\right);f\left(p\right)\)thì f(m) cũng sẽ tính được

Làm thế nào để có những đẳng thức dạng (1) dưới dạng tổng quát, cho phép ta chứng minh f(n)=n với mọi n bằng quy nạp? Chú ý rằng (1) có thể viết lại thành (m-p)(m+p)=(q-n)(q+n)=N. Do đó nếu chọn 2 số N có 2 cách phân tích thành tích của những số cùng tính chẵn hoặc lẻ, ta sẽ tìm được nghiệm cho (1). Chọn N=8k=4k.2=4.2k và N=16k=4k.4=2k.8 ta được hệ 

\(\hept{\begin{cases}m-p=2;m+p=4k;q-n=4;q+n=2k\\m-p=4;m+p=4k;q-n=8;q+n=2k\end{cases}}\)

Từ đó được các hằng đẳng thức tương ứng

\(\hept{\begin{cases}\left(2k+1\right)^2+\left(k-2\right)^2=\left(2k-1\right)^2+\left(k+2\right)^2\\\left(2k+2\right)^2+\left(k-4\right)^2=\left(2k-2\right)^2+\left(k+4\right)^2\end{cases}}\)

Từ hai đẳng thức này với chú ý f(n)=n với n=1;2;3;4;5;6 ta dễ dàng chứng minh quy nạp được rằng f(n)=n với mọi n thuộc N

Trường hợp f(1)=0 cũng bằng cách lý luận trên ta nêu ra f(n)=0 với mọi n thuộc N

Đặt A = \(\frac{n+1}{n+2}\)

=> \(\frac{1}{A}=\frac{n+2}{n+1}\)

=> \(\frac{1}{A}-1=\frac{n+2-n-1}{n+1}=\frac{1}{n+1}\)

Đặt B = \(\frac{n+3}{n+4}\)

=> \(\frac{1}{B}=\frac{n+4}{n+3}\)

=> \(\frac{1}{B}-1=\frac{n+4-n-3}{n+3}=\frac{1}{n+3}\)

Vì \(\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+3}\Rightarrow\frac{1}{A}-1>\frac{1}{B}-1\Rightarrow\frac{1}{A}>\frac{1}{B}\Rightarrow A< B\)

Vậy \(\frac{n+1}{n+2}< \frac{n+3}{n+4}\)

Đặt \(A=\frac{n+1}{n+2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{A}=\frac{n+2}{n+1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{A}-1=\frac{n+2-n+1}{n+1}=\frac{1}{n+1}\)

Đặt \(B=\frac{n+3}{n+4}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{B}=\frac{n+4}{n+3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{B}-1=\frac{n+4-n-3}{n+3}=\frac{1}{n+3}\)

Vì \(\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+3}\Rightarrow\frac{1}{A}-1>\frac{1}{B}-1\Rightarrow\frac{1}{A}>\frac{1}{B}\Rightarrow A< B\)

Vậy \(\frac{n+1}{n+2}< \frac{n+3}{n+4}\)

\(M=\left(n+1\right)\left(n+4\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)    

\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\)     ( 1 ) 

Đặt \(t=n^2+5n+4\)    

\(\Rightarrow\left(1\right)=t\left(t+2\right)+1\)                                                          

\(=t^2+2t+1\)    

\(=\left(t+1\right)^2\)    

Vậy M là bình phương của 1 số nguyên 

\(M=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\left[\left(n+1\right)\left(n+4\right)\right]\left[\left(n+2\right)\left(n+3\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(a^2+5a+4=x\)

ta có:\(M=x\left(x+2\right)+1\)

             \(=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)

            Thay \(x=a^2+5a+4\)Ta được:

\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2\)

Vì \(a\in Z\)nên \(a^2+5a+5\in Z\)

Do đó\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2\)là bình phương của 1 số nguyên