a) Ta có: \(A=1+3+3^2+...+3^{99}+3^{100}\)

=> \(3A=3+3^2+3^3+...+3^{100}+3^{101}\)

=> \(3A-A=\left(3+3^2+...+3^{101}\right)-\left(1+3+...+3^{100}\right)\)

<=> \(2A=3^{101}-1\)

=> \(A=\frac{3^{101}-1}{2}\)

b) Ta có: \(B=1+4+4^2+...+4^{100}\)

=> \(4B=4+4^2+4^3+...+4^{101}\)

=> \(4B-B=\left(4+4^2+...+4^{101}\right)-\left(1+4+...+4^{100}\right)\)

<=> \(3B=4^{101}-1\)

=> \(B=\frac{4^{101}-1}{3}\)

A B C H

Bài làm:

Ta có: \(\sin B=\frac{4}{5}\Leftrightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}\) => \(AC=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}.a\sqrt{5}=\frac{4a\sqrt{5}}{5}\)

Áp dụng định lý Pytago ta tính được:

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5a^2-\frac{16}{5}a^2}=\sqrt{\frac{9}{5}a^2}=\frac{3a\sqrt{5}}{5}\)

Mà \(AH.BC=AB.AC\) => \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{\frac{4a\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{3a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{5}}=\frac{12a\sqrt{5}}{25}\)

Áp dụng công thức ta tính được:

\(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{\left(\frac{3a\sqrt{5}}{5}\right)^2}{a\sqrt{5}}=\frac{9a\sqrt{5}}{25}\)

\(CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{\left(\frac{4a\sqrt{5}}{5}\right)^2}{a\sqrt{5}}=\frac{16a\sqrt{5}}{25}\)

Vậy \(AB=\frac{3a\sqrt{5}}{5}\) ; \(AC=\frac{4a\sqrt{5}}{5}\) ; \(AH=\frac{12a\sqrt{5}}{25}\) ; \(BH=\frac{9a\sqrt{5}}{25}\) ; \(CH=\frac{16a\sqrt{5}}{25}\)

a) Ta có: 

   \(P\left(x\right)=x-2x^2+3x^5+x^4+x=3x^5+x^4-2x^2\)

    \(Q\left(x\right)=3-2x-2x^2+x^4-3x^5-x^4+4x^2\)

    \(=-3x^5+2x^2-2x+3\)

b) Ta có: 

   \(P\left(x\right)+Q\left(x\right)=3x^5+x^4-2x^2-3x^5+2x^2-2x+3\)

   \(=x^4-2x+3\)

    \(P\left(x\right)-Q\left(x\right)=3x^5+x^4-2x^2+3x^5-2x^2+2x-3\)

    \(=6x^5+x^4-4x^2+2x-3\)

c) Ta có: \(P\left(0\right)=3.0^5+0^4-2.0^2=0\)

=> x = 0 là nghiệm của P(x)

Mà \(Q\left(0\right)=-3.0^5+2.0^2-2.0+3=3\)

=> x = 0 không là nghiệm của đa thức Q(x)

\(P\left(x\right)=x-2x^2+3x^5+x^4+x=2x-2x^2+3x^5+x^4\)

\(Q\left(x\right)=3-2x-2x^2+x^4-3x^5-x^4-4x^2=3-2x-6x^2-3x^5\)

Tự sắp xếp nhé 

\(2x-2x^2+3x^5+x^4+3-2x-6x^2-3x^5=3-8x^2+x^4\)

Tương tự vs trừ : Lưu ý nhớ đổi dấu 

c, Tự làm nhé

Có 1 số tự nhiên lớn hơn 2020, đó là số 2021.

Có vô số số tự nhiên lớn hơn 2020.

a) Ta có: \(\left(2x+1\right)^2+\left(1-x\right)3x\le\left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4\ge4x^2+4x+1+3x-3x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4\ge x^2+7x+1\)

\(\Leftrightarrow3\ge3x\)

\(\Rightarrow x\le1\)

b) Ta có: \(\left(x-4\right)\left(x+4\right)\ge\left(x+3\right)^2+5\)

\(\Leftrightarrow x^2-16\ge x^2+6x+9+5\)

\(\Leftrightarrow6x\le-30\)

\(\Leftrightarrow x\le-5\)

a) ( 2x + 1 )² + ( 1 - x )3x ≤ ( x + 2 )²

<=> 4x² + 4x + 1 + 3x - 3x² ≤ x² + 4x + 4

<=> 4x² + 4x + 3x - 3x² - x² - 4x ≤ 4 - 1

<=> 3x ≤ 3

<=> x ≤ 1

b) ( x - 4 )( x + 4 ) ≥ ( x + 3 )² + 5

<=> x² - 16 ≥ x² + 6x + 9 + 5

<=> x² - x² - 6x ≥ 9 + 5 + 16

<=> -6x ≥ 30

<=> x ≤ -5

Điều kiện để số x là nghiệm của đa thức P(x) là khi thay x vào P(x) thì giá trị của P(x) = 0

Mà theo phần a ta thấy:

P(1) = 0 ; P(-2) = 0

=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\) là nghiệm của đa thức P(x)

1) \(-4x^2+8x=0\Leftrightarrow-4x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

2) \(\left(2x-4\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-4=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=4\\x=-1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

3) \(x^2-5x-14=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-7=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=7\end{cases}}\)

4) \(3x^2-5x-2=0\Leftrightarrow\left(3x+1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{3}\\x=2\end{cases}}\)

5) xem lại đề

6) \(x^2-5x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=5\end{cases}}\)

7) \(7x^2-50x+7=0\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(7x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-7=0\\7x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\x=\frac{1}{7}\end{cases}}\)

-4x² + 8x

Đa thức có nghiệm <=> -4x² + 8x = 0

                                <=> -4x( x - 2 ) = 0

                                <=> \(\orbr{\begin{cases}-4x=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

( 2x - 4 )( x + 1 )

Đa thức có nghiệm <=> ( 2x - 4 )( x + 1 ) = 0

                                <=> \(\orbr{\begin{cases}2x-4=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

x² - 5x - 14

Đa thức có nghiệm <=> x² - 5x - 14 = 0

                                <=> x² + 2x - 7x - 14 = 0

                                <=> x( x + 2 ) - 7( x + 2 ) = 0 

                                <=> ( x + 2 )( x - 7 ) = 0

                                <=> \(\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=7\end{cases}}\)

3x² - 5x - 2

Đa thức có nghiệm <=> 3x² - 5x - 2 = 0

                               <=> 3x² + x - 6x - 2 = 0

                               <=> x( 3x + 1 ) - 2( 3x + 1 ) = 0

                               <=> ( 3x + 1 )( x - 2 ) = 0

                               <=> \(\orbr{\begin{cases}3x+1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{3}\\x=2\end{cases}}\)

Chỗ này đề lỗi

x² - 5x

Đa thức có nghiệm <=> x² - 5x = 0

                                <=> x( x - 5 ) = 0

                                <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=5\end{cases}}\)

7x² - 50x + 7

Đa thức có nghiệm <=> 7x² - 50x + 7 = 0

                               <=> 7x² - x - 49x + 7 = 0

                               <=> x( 7x - 1 ) - 7( 7x - 1 ) = 0

                               <=> ( 7x - 1 )( x - 7 ) = 0

                               <=> \(\orbr{\begin{cases}7x-1=0\\x-7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\x=7\end{cases}}\)

Bài 1.

a) ( 7x - 3 )² - 5x( 9x + 2 ) - 4x² = 18

<=> 49x² - 42x + 9 - 45x² - 10x - 4x² = 18

<=> -52x + 9 = 18

<=> -52x = 9

<=> x = -9/52 

b) ( x - 7 )² - 9( x + 4 )² = 0

<=> x² - 14x + 49 - 9( x² + 8x + 16 ) = 0

<=> x² - 14x + 49 - 9x² - 72x - 144 = 0

<=> -8x² - 86x - 95 = 0 

<=> -8x² - 10x - 76x - 95 = 0

<=> -8x( x + 5/4 ) - 76( x + 5/4 ) = 0

<=> ( x + 5/4 )( -8x - 76 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x+\frac{5}{4}=0\\-8x-76=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{5}{4}\\x=-\frac{19}{2}\end{cases}}\)

c) ( 2x + 1 )² + ( 4x - 1 )( x + 5 ) = 36

<=> 4x² + 4x + 1 + 4x² + 19x - 5 = 36

<=> 8x² + 23x - 4 - 36 = 0

<=> 8x² + 23x - 40 = 0

=> Vô nghiệm ( lớp 8 chưa học nghiệm vô tỉ nghen ) :))

Bài 2.

a) x² - 12x + 39 = ( x² - 12x + 36 ) + 3 = ( x - 6 )² + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x ( đpcm )

b) 17 - 8x + x² = ( x² - 8x + 16 ) + 1 = ( x - 4 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

c) -x² + 6x - 11 = -( x² - 6x + 9 ) - 2 = -( x - 3 )² - 2 ≤ -2 < 0 ∀ x ( đpcm )

d) -x² + 18x - 83 = -( x² - 18x + 81 ) - 2 = -( x - 9 )² - 2 ≤ -2 < 0 ∀ x ( đpcm )

\(INFINITY\)