4m +5m=

12-7=

999-22=

23-8=

đk : m khác 2 

\(\frac{4m^2}{\left(m-2\right)^2}-\frac{2\left(m-3\right)}{m-2}=5\Rightarrow4m^2-2\left(m-3\right)\left(m-2\right)=5\left(m-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2\left(m^2-5m+6\right)=5\left(m^2-4m+4\right)\)

\(\Leftrightarrow2m^2+10m-12=5m^2-20m+20\Leftrightarrow3m^2-30m+32=0\)

\(\Delta'=225-32.3=225-96=129>0\)

pt có 2 nghiệm pb \(x=\frac{-15\pm\sqrt{129}}{3}\)

ấn vào ô báo cáo

Tối quá, ko thấy bài đâu 

HT

Đặt \(BC=a;AC=b;AB=c\left(a,b,c>0\right)\)

\(\Delta BCF\)có phân giác trong BI \(\left(I\in CF\right)\)\(\Rightarrow\frac{IF}{IC}=\frac{BF}{BC}\)(1)

\(\Delta ABC\)có phân giác trong CF \(\left(F\in AB\right)\)\(\Rightarrow\frac{BF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{BF+AF}{BC+AC}=\frac{AB}{BC+AC}=\frac{c}{a+b}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{IF}{IC}=\frac{c}{a+b}\)

Tương tự, ta có \(\frac{IE}{IB}=\frac{b}{c+a}\); \(\frac{ID}{IA}=\frac{a}{b+c}\)

Từ đó \(\frac{ID}{IA}+\frac{IE}{IB}+\frac{IF}{IC}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)với \(a,b,c>0\)

Thật vậy: Ta chứng minh bất đẳng thức phụ \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)với \(x,y,z>0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(x,y,z\), ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

Tương tự, ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)

Từ đó \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: \(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{a}{b+c}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\)đpcm

x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² 

HT

\(x_1^4+x_2^4=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2\)

\(=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2\)

tôi củng thấy đúng

Ta có  \(\frac{2\left(a^4+b^4\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}-\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge3\)(1) 

\(\Leftrightarrow\frac{3a^4+3b^4+2\left(ab\right)^2}{a^4-b^4}\ge3\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^4+2\left(ab\right)^2\ge3a^4-3b^4\)(Vì a > b nên a⁴ > b⁴)

\(\Leftrightarrow3b^4+\left(ab\right)^2\Leftrightarrow b^2\left(3b^2+a^2\right)\ge0\left(\text{đúng}\right)\)

=> BĐT (1) đúng "=" khi b = 0 

anh e chơi free frii thôi