Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y+z-x=a>0\\x+z-y=b>0\\x+y-z=c>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b+c}{2}\\y=\dfrac{a+c}{2}\\z=\dfrac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\)

BĐT cần c/m trở thành: \(\dfrac{b+c}{6a}+\dfrac{c+a}{6b}+\dfrac{a+b}{6c}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)\ge1\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\right)\ge\dfrac{1}{6}.6\sqrt[6]{\dfrac{b.c.c.a.a.b}{a.a.b.b.c.c}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)

a: Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(\dfrac{EF}{16}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(EF=\dfrac{16}{4}=4\left(cm\right)\)

b: Xét ΔDEF có MC//EF

nên \(\dfrac{EM}{DM}=\dfrac{FC}{CD}=\dfrac{FC}{EB}\)(1)

Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)

=>\(\dfrac{AB}{AE}-1=\dfrac{AC}{AF}-1\)

=>\(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{CF}{AF}\)

=>\(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AF}{CF}\)

=>\(\dfrac{AE+BE}{BE}=\dfrac{AF+CF}{CF}\)

=>\(\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{AC}{CF}\)

=>\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CF}{BE}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{EM}{DM}=\dfrac{AC}{AB}\)

a) ĐK: \(x\ne\pm2\)

b) \(A=\left(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{2}{x-2}\right):\left(1-\dfrac{x}{x+2}\right)\)

\(=\left[\dfrac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\dfrac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right]:\left[\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{x}{x+2}\right]\)

\(=\dfrac{x+x-2-2x-4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}:\dfrac{2}{x+2}\)

\(=\dfrac{-6}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{2}\)

\(=\dfrac{-3}{x-2}\) 

Nửa chu vi khu vườn là 450:2=225(m)

Gọi chiều dài khu vườn là x(m)

(ĐK: \(x>\dfrac{225}{2}=112,5\))

Chiều rộng khu vườn là 225-x(m)

Chiều dài khu vườn lúc sau là \(x\left(1-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{4}{5}x\left(m\right)\)

Chiều rộng khu vườn lúc sau là \(\left(225-x\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}\left(225-x\right)\left(m\right)\)

Chu vi không đổi nên ta có phương trình:

\(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{5}{4}\left(225-x\right)=225\)

=>\(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{1125}{4}-\dfrac{5}{4}x=225\)

=>\(\dfrac{-9}{20}x=225-\dfrac{1125}{4}\)

=>\(\dfrac{-9}{20}x=-56,25\)

=>x=125(nhận)

Chiều rộng khu vườn là 225-125=100(m)

Vậy: Chiều dài là 125m; chiều rộng là 100m

1\6>5\9

3 giờ 20 phút = 10/3 giờ

Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng (x > 4)

Vận tốc khi xuôi dòng của tàu thủy là: x + 4 (km/h)

Vận tốc ngược dòng của tàu thủy: x - 4 (km/h)

Quãng đường đi xuôi dòng: (x + 4).10/3 (km)

Quãng đường đi ngược dòng: (x - 4).5 (km)

Theo đề bài, ta có phương trình:

(x + 4).10/3 = (x - 4).5

(x + 4).10 = (x - 4).15

10x + 40 = 15x - 60

10x - 15x = -60 - 40

-5x = -100

x = -100 : (-5)

x = 20 (nhận)

Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 20 km/h

      Giải toán bằng cách lập phương trình em nhé.

                              Giải:

    Gọi vân tốc của ca nô khi nước lặng là \(x\) (km/h) ; \(x>0\)

    Vận tốc ca nô xuôi dòng là: \(x+4\) (km/h)

     Đổi 3 giờ 20 phút  = \(\dfrac{10}{3}\) giờ

     Quãng sông AB là:  (\(x+4\)) x \(\dfrac{10}{3}\) (km)

     Vận tốc ca nô khi ngược dòng là:  \(x\) - 4 (km)

     Quãng sông AB là: (\(x-4\)) x 5 (km)

      Theo bài ra ta có phương trình:

              (\(x+4\)) x \(\dfrac{10}{3}\) = (\(x-4\)) x 5

              (\(x+4\)) x 10 = (5\(x\) - 20) x 3

              10\(x\) + 40    =  15\(x\) - 60

              15\(x\) - 10\(x\)  = 40 + 60

                    5\(x\)       = 100

                      \(x\)       = 100 : 5

                       \(x\)      = 20

Vậy vận tốc ca nô khi nước lặng là: 20 km/h

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

b:

Gọi giao điểm của AD,BE,CF là H

Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{HFE}=\widehat{HAE}\)(AFHE nội tiếp)

\(\widehat{HFD}=\widehat{HBD}\)(BFHD nội tiếp)

mà \(\widehat{HAE}=\widehat{HBD}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{HFE}=\widehat{HFD}\)

=>\(\widehat{CFE}=\widehat{CFD}\)

=>FC là phân giác của góc EFD

a: Xét ΔIAB và ΔIMD có

\(\widehat{IAB}=\widehat{IMD}\)(hai góc so le trong, AB//MD)

\(\widehat{AIB}=\widehat{MID}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAB~ΔIMD

=>\(\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{AB}{MD}=\dfrac{AB}{MC}\left(1\right)\)

Xét ΔKAB và ΔKCM có

\(\widehat{KAB}=\widehat{KCM}\)(hai góc so le trong, AB//CM)

\(\widehat{AKB}=\widehat{CKM}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAB~ΔKCM

=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KM}=\dfrac{AB}{CM}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KM}=\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IB}{ID}\)

=>\(\dfrac{MI}{IA}=\dfrac{MK}{KB}\)

Xét ΔMAB có \(\dfrac{MI}{IA}=\dfrac{MK}{KB}\)

nên IK//AB

Ta có: IK//AB

AB//CD
Do đó: IK//CD
b: Xét ΔMAB có IK//AB

nên \(\dfrac{IK}{AB}=\dfrac{MI}{MA}\)

=>\(\dfrac{AB}{IK}=\dfrac{MA}{MI}=1+\dfrac{IA}{IM}=1+\dfrac{AB}{MD}\)

=>\(\dfrac{AB}{IK}=1+\dfrac{AB}{\dfrac{CD}{2}}\)

=>\(\dfrac{AB}{IK}=1+\dfrac{2AB}{CD}\)

=>\(AB\left(\dfrac{1}{IK}-\dfrac{2}{CD}\right)=1\)

=>\(\dfrac{1}{IK}-\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{AB}\)

=>\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{IK}\)

Câu 5

Do NO ⊥ KM (gt)

ME ⊥ KM (gt)

⇒ NO // ME

Ta có:

KE = KO + OE

= 5 + 3,5

= 8,5

KME có NO // ME

⇒ KN/KM = KO/KE

⇒ KM = KN . KE : KO

= 4 . 8,5 : 5

= 6,8

Vậy x = 6,8

a: Hệ số góc của đường thẳng y=2x+3 là a=2

b: Thay x=-2 vào y=2x+3, ta được:

\(y=2\cdot\left(-2\right)+3=-4+3=-1\)<1

=>M(-2;-1) thuộc đồ thị hàm số y=2x+3 và N(-2;1) không thuộc đồ thị hàm số y=2x+3