Ta có: 

\(\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\\ \left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\ \left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(L=\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)

Dấu "=" xảy: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x+1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x,y\in\varnothing\)

=> L không có GTNN 

\(\left(2a+b\right)^2-\left(2b+a\right)^2\\ =\left[\left(2a+b\right)-\left(2b+a\right)\right]\left[\left(2a+b\right)+\left(2b+a\right)\right]\\ =\left(2a+b-2b-a\right)\left(2a+b+2b+a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)\\ =3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(4-x^2+2x\\ =\left(-x^2+2x-1\right)+5\\ =-\left(x^2-2x+1\right)+5\\ =-\left(x-1\right)^2+5\)

Ta có: \(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\)

\(=>-\left(x-1\right)^2+5\le5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra: `x-1=0<=>x=1`

Vậy: ... 

hi

a: Khi x=2 và y=-10 thì \(A=3\cdot2^2+4\cdot2\cdot\left(-10\right)-2\cdot\left(-10\right)^2\)

=12-80-200

=12-280=-268

Khi x=2 và y=-10 thì \(B=-2^2+3\cdot\left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-10\right)\)

=-4+300+80

=380-4=376

a/

Xét tg vuông AME và tg vuông AHC có

AE=AC (gt)

\(\widehat{EAM}+\widehat{HAC}=\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90^o\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{ACH}\)

=> tg AME = tg AHC (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=AH

C/m tương tự khi xét tg vuông AKD và tg vuông AHB

=> DK=AH

=> DK=EM

b/

\(DK\perp AH\left(gt\right);EM\perp AH\left(gt\right)\) => DK//EM (cùng vg với AH)

DK=EM (cmt)

=> EKDM là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

=> IE=ID (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x+y\right)\left(x-y\right)\\ =\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-y^2\right)\\ =x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2+x^2-y^2\\ =3x^2+y^2\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2\ge0\forall x\\y^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.=>3x^2+y^2\ge0\forall x,y\)

=> Biểu thức không âm với mọi x và y 

`(x+y)^2 + (x - y)^2 + (x+y)(x - y)`

`= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 + x^2 - y^2`

`= 3x^2 + y^2`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0\\y^2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2\ge0\\y^2\ge0\end{matrix}\right.\)

`=> 3x^2 + y^2 ≥ 0`

Vậy đa thức trên luôn không âm với mọi `x;y`

Ta có:

\(-x^2+x-5\\ =-x^2+x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-5\\ =-\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}-5\\ =-\left[x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]-\dfrac{19}{4}\\ =-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}\)

Nhận xét:

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0,\forall x\\ \Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0,\forall x\\ \Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}\le-\dfrac{19}{4},\forall x\)
hay \(-x^2+x-5\le-\dfrac{19}{4},\forall x\) 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(x-\dfrac{1}{2}\\=0\\ \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)  
Vậy...

a: D đối xứng H qua AB

=>AH=AD;BH=BD

E đối xứng H qua AC

=>AH=AE; CH=CE

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

HB=DB

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^0\)

ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAD

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

CH=CE

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

=>\(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\)

ΔAHC=ΔAEC

=>\(\widehat{HAC}=\widehat{EAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAE

\(\widehat{DAE}=\widehat{DAH}+\widehat{EAH}=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

=>BD//CE

Xét tứ giác BDEC có BD//EC

nên BDEC là hình thang

b: Ta có: AD=AH

AH=AE

Do đó: AD=AE

=>A là trung điểm của DE

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=HA^2\)

=>\(BD\cdot CE=\left(\dfrac{1}{2}DE\right)^2=\left(\dfrac{DE}{2}\right)^2\)

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

=>\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{25}{144}\)

=>\(AH=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

=>DE=2AH=4,8(cm)